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在探讨微分方程或是差分方程的特征方程时,多项式若满足任一个性质,即称为稳定:
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第一个条件是连续时间线性系统的稳定条件,第二个条件则是离散时间线性系统的稳定性条件。若符合第一个条件的多项式称为赫尔维茨多项式,第一个条件的多项式则是舒尔多项式。稳定多项式常出现在控制理论中,也应用在微分方程及差分方程的数学理论中。线性时不变系统(参照线性时不变系统理论)为BIBO稳定的条件是所有有界输入的输出都是有界。若线性系统的特征方程为稳定多项式,系统则为BIBO稳定系统。若是连续时间系统,其分母需为赫尔维茨多项式,若是离散时间系统,其分母需为舒尔多项式。实务上,可以透过一些稳定性判据来判断稳定性。
是在莫比乌斯变换 后的结果,将左半平面映射到开集的单位圆内。P为舒尔稳定,若且唯若Q为赫尔维茨稳定而且。针对高次的多项式可以用其他的测验方式(例如Schur-Cohn测试、Jury稳定性判准或是Bistritz稳定性判准)来判定,可以避免映射上的复杂计算。
则多项式为舒尔稳定。
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