离散正弦变换

离散正弦变换（DST for Discrete Sine Transform）是一种与傅立叶变换相关的变换，类似离散傅立叶变换，但是只用实数矩阵。离散正弦变换相当于长度约为它两倍，一个实数且奇对称输入资料的的离散傅立叶变换的虚数部分（因为一个实奇输入的傅立叶变换为纯虚数奇对称输出）。有些变型里将输入或输出移动半个取样。

一种相关的变换是离散馀弦变换，相当于长度约为它两倍，实偶函数的离散傅立叶变换。参考DCT本文有关边界条件和不同的DCT和DST关联的一般讨论。

定义

形式上，离散正弦变换是一个线性的可逆函数 $F:R^{N}\rightarrow R^{N}$ ，其中R为实数集，或等价的说是一个 $N\times N$ 方阵。离散正弦变换有几种稍微不同定义的变形，皆根据以下公式之一把 $N$ 个实数 $x_{0},\ldots ,x_{N-1}$ 变换到另 $N$ 个实数 $X_{0},\ldots ,X_{N-1}$ 。

DST-I

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1

一个DST-I矩阵为正交矩阵（差一个系数）。

$N=3$ 的实数abc的DST-I变换等价于8点实数0abc0(-c)(-b)(-a)（奇对称）的DFT转换，再除2（而DST-II~DST-IV等价于DFT有半个取样的位移）。

因而DST-I对应的边界条件是： $x_{n}$ 对 $n=-1$ 奇对称，也对 $n=N$ 奇对称； $X_{k}$ 也类似。

DST-II

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1

DST-III

X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1

DST-IV

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1

一个DST-IV矩阵为正交矩阵（差一个系数）。

DST V-VIII

反变换

DST-I的反变换是把DST-I乘以 ${\frac {1}{N+1}}$ 。 DST-IV的反变换是把DST-IV乘以 ${\frac {2}{N}}$ 。 DST-II的反变换是把DST-III乘以 ${\frac {2}{N}}$ ，反之亦然。

类似离散傅立叶变换，这些定义前面的归一系数只是习惯，不同人有不同定义。例如有人在变换前面乘 ${\sqrt {\frac {2}{N}}}$ ，使反变换和变换在形式上更相似，而不需另外的归一系数。

参考资料

S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）. A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).