皮亚诺曲线

皮亚诺曲线（Peano curve）是一条能够填满正方形的曲线。

皮亚诺曲线的构建

1890年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线，其构造方法如下：取一个正方形并且把它分出九个相等的小正方形，然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束，依次把小正方形的中心用线段连接起来；下一步把每个小正方形分成九个相等的正方形，然后上述方式把其中中心连接起来……。将这种操作手续无限进行下去，最终得到的“极限情况的曲线”^{[注 1]}就被称作皮亚诺曲线。这样的曲线会填满整个一开始给定的正方形。

在传统概念中，曲线的维度是1，正方形维度是2，且1维的曲线直觉上不能填满2维的正方形。但是皮亚诺曲线正给出了反例。这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新思考维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中，维数可以是分数叫做分维。

此外，皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线，就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。

注释

1. 这里的极限具有如下意义：对皮亚诺曲线构造的每个阶段中的折线，我们可以以最自然的方式将其参数化成 ${\displaystyle (f_{n}(t),g_{n}(t))}$, ${\displaystyle t\in [0,1]}$ 使得 ${\displaystyle f_{n}(0)=g_{n}(0)=0}$。而极限的曲线就是参数式为 ${\displaystyle \textstyle (\lim _{n\to \infty }f_{n}(t),\lim _{n\to \infty }g_{n}(t)),t\in [0,1]}$ 的曲线。可以证明前述极限对每个${\displaystyle t\in [0,1]}$ 皆存在。

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