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狄利克雷函数(英语:Dirichlet function)是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在实数范围上、值域为 的函数,用 或者 表示。这是一个典型的处处不连续函数。该函数以德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷的名字命名。
狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数,其图像关于 轴成轴对称,是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分。
在数学领域,这是一个病态函数。作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限,并且以任意有理数为周期的周期函数(有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数)。该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的。
在实数域上,狄利克雷函数 定义为
狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限:
其中 和 为整数。
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