波形因数

波形因数（英文：Form factor）是交流讯号中的一个无因次量，可以用${\displaystyle k_{f}}$来表示，是讯号的均方根值和整流平均值的比值^[1]。波形因数是相同功率的直流讯号和原交流讯号整流后平均值的比值^[2]。

计算

对于一个理想的，对时间T连续的函数，其均方根可以表示为以下的积分^[3]：

${\displaystyle X_{rms}={\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}}$

而整流平均值为函数绝对值的平均^[3]：

${\displaystyle X_{arv}={1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}$

两者的比值即为波形因数${\displaystyle k_{f}}$。

${\displaystyle k_{f}={\frac {RMS}{ARV}}={\frac {\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}{{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}}={\frac {\sqrt {T\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{{[f(t)]}^{2}\,dt}}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}}$

应用

数位式的交流量测设备一般是针对弦波而设计的，例如许多交流电表会特别针对弦波的均方根值来进行调整。由于很难利用数位方式计算一讯号的均方根值，一般会改为计算弦波讯号的整流平均值，然后再乘以弦波的波形因数。不过若利用此方法计算其他波形的均方根值，会得到较不精确的结果^[4]。

性质

波形因数是讯号的均方根值和整流平均值的比值，因此二个值之间类似及不同的性质决定了波形因数的性质。

例如均方根值和整流平均值都和振幅${\displaystyle a}$成正比，不过波形因数是二者相除，因此不受振幅的影响。一个特定的波形，若不失真的放大或缩小N倍，其波形因数不变。

均方根值计算时会用到讯号的平方，而整流平均值会用到讯号的绝对值，二者都不受正负号的影响。因此波形因数也不受正负号的影响，一个平均值为零的方波和其整流后的讯号，其波形因数相等。

波形因数是讯号的均方根值和整流平均值的比值，此外还有二个类似定义的因数：

• 峰值因数：${\displaystyle k_{a}={\frac {X_{max}}{X_{rms}}}}$，最大值和均方根值的比值。
• 平均因数：${\displaystyle k_{av}={\frac {X_{max}}{X_{arv}}}}$，最大值和整流平均值的比值，较少用到。

波形因数是三个因数中最小的一个：

${\displaystyle k_{av}\geq k_{a}\geq k_{f}}$^[2]

由于他们的定义都和最大值、均方根值和整流平均值有关，三个因数间有以下的关系：

${\displaystyle k_{av}=k_{a}k_{f}}$,^[2]

因此也可以用峰值因数和平均因数来表示波形因数：

${\displaystyle k_{f}={\frac {k_{av}}{k_{a}}}}$.

特定波形的波形因数

若用${\displaystyle a}$表示波形的振幅，由于均方根值和整流平均值都和振幅成正比，二者对波形因数的影响恰好互相抵消，因此波形因数和振幅无关。像${\displaystyle 8sin(t)}$和${\displaystyle sin(t)}$的波形因数相等，因此可以用正规化，振幅为1的波形来计算波形因数。

波形	波形图	RMS	ARV	波形因数
弦波		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$[2]	${\displaystyle a{\frac {2}{\pi }}}$[2]	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1.11072073}$[3]
半波整流的弦波		${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {a}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\approx 1.5707963}$
全波整流的弦波		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle a{\frac {2}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$
方波（占空比50%）		${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\frac {a}{a}}=1}$
脉波		${\displaystyle a{\sqrt {D}}}$[5]	${\displaystyle aD}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {D}}}={\sqrt {\frac {T}{\tau }}}}$
三角波		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$[5]	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1.15470054}$
锯齿波		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$
白杂讯 U(-1,1)		${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$

相关条目

• 峰值因数
• 整流平均值

参考资料

1. Stutz, Michael. Measurement of AC Magnitude. BASIC AC THEORY. [30 May 2012]. （原始内容存档于2015-04-23）.
2. Dusza, Jacek; Grażyna Gortat, Antoni Leśniewski. Podstawy Miernictwa (Foundations of Measurement). Warszawa: Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej. 2002: 136–142, 197–203, 323. ISBN 83-7207-344-9 （波兰语）. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
3. Jędrzejewski, Kazimierz. Laboratorium Podstaw Pomiarow. Warsaw: Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej. 2007: 86–87. ISBN 978-83-7207-4 （波兰语）.
4. Tanuwijaya, Franky. True RMS vs AC Average Rectified Multimeter Readings when a Phase Cutting Speed Control is Used (PDF). Esco Micro Pte Ltd. [2012-12-13]. （原始内容存档 (PDF)于2019-07-13）. 引用错误：带有name属性“true_rms”的<ref>标签用不同内容定义了多次
5. Nastase, Adrian. How to Derive the RMS Value of Pulse and Square Waveforms. [9 June 2012]. （原始内容存档于2021-02-05）.

外部链接

• RMS Calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆）