泊松求和公式(英文:Poisson Summation Formula)由法国数学家泊松所发现,它陈述了一个连续时间的信号,做无限多次的周期复制后,其傅立叶级数与其傅立叶转换之间数值的关系,亦可用来求周期信号的傅立叶转换。
设无周期函数具有傅里叶变换:
这里的也可以替代表示为和 。有如下基本的泊松求和公式:
对于二者通过周期求和而得到的周期函数:
这里的参数并且,它们有着同一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式[1][2]:
这是一个傅里叶级数展开,其系数是函数的采样。还有:
这也叫做离散时间傅里叶变换。
当时,得,
表示一个信号的在时域以为间隔做取样,在频域以为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有倍的关系。
- Benedetto, J.J.; Zimmermann, G., Sampling multipliers and the Poisson summation formula, J. Fourier Ana. App., 1997, 3 (5) [2008-06-19], (原始内容存档于2011-05-24)
- Gasquet, Claude; Witomski, Patrick, Fourier Analysis and Applications, Springer: 344–352, 1999, ISBN 0-387-98485-2
- Higgins, J.R., Five short stories about the cardinal series, Bull. Amer. Math. Soc., 1985, 12 (1): 45–89 [2023-10-30], doi:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0 , (原始内容存档于2020-08-12)