泊松分布(法语:loi de Poisson;英语:Poisson distribution)又称Poisson分布、帕松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小数法则(Poisson law of small numbers),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表。
Quick Facts 参数, 值域 ...
泊松分布
概率质量函数 横轴是索引k,发生次数。该函数只定义在k为整数的时候。连接线是只为了指导视觉。 |
累积分布函数 横轴是索引k,发生次数。CDF在整数k处不连续,且在其他任何地方都是水平的,因为服从泊松分布的变量只针对整数值。 |
参数 |
λ > 0(实数) |
---|
值域 |
![{\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\cdots \}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77041f9a13eec19454afc554b18a3eda277217cf) |
---|
概率质量函数 |
![{\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81f4aab48b2869702242435d79ac5a6328d0aa7) |
---|
累积分布函数 |
,或 ,或
(对于 ,其中 是不完全Γ函数, 是高斯符号,Q是规则化Γ函数) |
---|
期望值 |
![{\displaystyle \lambda }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a) |
---|
中位数 |
![{\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b95cfadaa84099335d94c72adc9ec23bd62222) |
---|
众数 |
![{\displaystyle \lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f43b2707041c373a53f00a3c51b5b2274b6fb84) |
---|
方差 |
![{\displaystyle \lambda }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a) |
---|
偏度 |
![{\displaystyle \lambda ^{-1/2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33cd186b688213575b20bf875991fadad5c8e5cb) |
---|
峰度 |
![{\displaystyle \lambda ^{-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e339fe3b3bd9b9883154cd2d5363f3ecf4ef7e8) |
---|
熵 |
(假设 较大)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a58789fda1663a8333f73ca627af71b1c27d46f)
![{\displaystyle \qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aaa1fbebdbf32f877eba1d8d7f37822ce31a78d) |
---|
矩生成函数 |
![{\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89aa29f1044f37cb972bb329b3e2eec04028a540) |
---|
特征函数 |
![{\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b58c6c531bc1b523760f6c5387bd030870192e) |
---|
概率母函数 |
![{\displaystyle \exp(\lambda (z-1))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01567be4aba31c7b69fa418341eac5992810c61) |
---|
Close
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数,电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、雷射的光子数分布等等。(单位时间内发生的次数,可以看作事件发生的频率,类似物理的频率
)。
泊松分布的机率质量函数为:
![{\displaystyle P(X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4eb63a8e6d46d0f7c642426ca59531507c5a9e)
泊松分布的参数
是随机事件发生次数的数学期望值。