欧拉恒等式

欧拉恒等式是指下列的关系式：

${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$

从${\displaystyle {{e}^{0}}=1}$开始，以相对速度i，走π长时间，加1，则到达原点

其中${\displaystyle e\,}$是自然对数的底，${\displaystyle i\,}$是虚数单位，${\displaystyle \pi \,}$是圆周率。

这条恒等式第一次出现于1748年，瑞士数学、物理学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在洛桑出版的书《无穷小分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）。这是复分析的欧拉公式之特殊情况。

证明

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$（欧拉公式）

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,}$（代入${\displaystyle x=\pi \,}$）

${\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1}$（因${\displaystyle \cos \pi =-1}$和${\displaystyle \sin \pi =0}$）

${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$

与欧拉恒等式有关的文学作品

《博士热爱的算式》（博士の愛した数式），小川洋子著，台湾版本由王蕴洁翻译，二版，麦田出版社，2008年，ISBN 978-986-173-408-8。

参见

• 欧拉公式

参考文献

1. Conway, John H., and Guy, Richard K.（英语：Richard K. Guy） (1996), The Book of Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Springer ISBN 978-0-387-97993-9
2. Crease, Robert P.（英语：Robert P. Crease） (10 May 2004), "The greatest equations ever （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Physics World（英语：Physics World） [registration required]
3. Dunham, William（英语：William Dunham (mathematician)） (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-328-3
4. Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Leipzig: B. G. Teubneri
5. Kasner, E.（英语：Edward Kasner）, and Newman, J.（英语：James R. Newman） (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
6. Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7
7. Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2
8. Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books ISBN 0-14-014574-5
9. Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
10. Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-563-8
11. Stipp, David, A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books, 2017
12. Wells, David (1990), "Are these the most beautiful?", The Mathematical Intelligencer（英语：The Mathematical Intelligencer）, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015
13. Wilson, Robin, Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press, 2018
14. Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F., The experience of mathematical beauty and its neural correlates, Frontiers in Human Neuroscience, 2014, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068