代数拓扑 中,梅西积 (Massey product)是(Massey 1958 )引入的一种高阶上同调运算 ,推广了上积 。梅西积由美国代数拓扑学家William S. Massey提出。
梅西积是三不互扣环 现象的代数推广。
令
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\ b,\ c}
为微分分次代数
Γ
{\displaystyle \Gamma }
的上同调代数
H
∗
(
Γ
)
{\displaystyle H^{*}(\Gamma )}
的元素。若
a
b
=
b
c
=
0
{\displaystyle ab=bc=0}
,则梅西积
⟨
a
,
b
,
c
⟩
{\displaystyle \langle a,b,c\rangle }
是
H
n
(
Γ
)
{\displaystyle H^{n}(\Gamma )}
的子集,其中
n
=
deg
(
a
)
+
deg
(
b
)
+
deg
(
c
)
−
1
{\displaystyle n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1}
。
梅西积是通过代数手段定义的:将元素
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\ b,\ c}
提升到
Γ
{\displaystyle \Gamma }
的元素
u
,
v
,
w
{\displaystyle u,\ v,\ w}
的等价类,取这些元素的梅西积,然后向下推到上同调。这可能产生定义明确的上同调类,也可能不确定。
定义
u
¯
{\displaystyle {\bar {u}}}
为
(
−
1
)
deg
(
u
)
+
1
u
{\displaystyle (-1)^{\deg(u)+1}u}
。
Γ
{\displaystyle \Gamma }
中元素u 的上同调类可表为
[
u
]
{\displaystyle [u]}
。3个上同调类的梅西三元积定义为
⟨
[
u
]
,
[
v
]
,
[
w
]
⟩
=
{
[
s
¯
w
+
u
¯
t
]
∣
d
s
=
u
¯
v
,
d
t
=
v
¯
w
}
.
{\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}}v,dt={\bar {v}}w\}.}
3个上同调类的梅西积不是
H
∗
(
Γ
)
{\displaystyle H^{*}(\Gamma )}
的元素,而是
H
∗
(
Γ
)
{\displaystyle H^{*}(\Gamma )}
元素的集合,可能是空的也可能包含多个元素。若
u
,
v
,
w
{\displaystyle u,v,w}
分别有
i
,
j
,
k
{\displaystyle i,\ j,\ k}
的度数,则梅西积的度数为
i
+
j
+
k
−
1
{\displaystyle i+j+k-1}
,其中的
−
1
{\displaystyle -1}
来自微分
d
{\displaystyle {\rm {d}}}
。
若积
u
v
{\displaystyle uv}
、
v
w
{\displaystyle vw}
都是精确的,则梅西积非空,这时其所有元素都在商群
H
∗
(
Γ
)
/
(
[
u
]
H
∗
(
Γ
)
+
H
∗
(
Γ
)
[
w
]
)
.
{\displaystyle \displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).}
的同一个元素中。因此,梅西积可看做定义在类三元组上的函数,其中的类在上述商群中取值,使得前两个类或后两个类之积为零。
更通俗地说,若两逐对积
[
u
]
[
v
]
{\displaystyle [u][v]}
、
[
v
]
[
w
]
{\displaystyle [v][w]}
都在同调中为零(
[
u
]
[
v
]
=
[
v
]
[
w
]
=
0
{\displaystyle [u][v]=[v][w]=0}
),即对某链s 、t 有
u
v
=
d
s
{\displaystyle uv=ds}
、
v
w
=
d
t
{\displaystyle vw=dt}
,则三元积
[
u
]
[
v
]
[
w
]
{\displaystyle [u][v][w]}
“为零有两个原因”:是
s
w
{\displaystyle sw}
、
u
t
{\displaystyle ut}
的边界(由于
d
(
s
w
)
=
d
s
⋅
w
+
s
⋅
d
w
,
{\displaystyle d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,}
且
[
d
w
]
=
0
{\displaystyle [dw]=0}
因为同调的元素是循环)。有界循环s 、t 有不确定性,在移动到同调时变为零;又因为
s
w
{\displaystyle sw}
、
u
t
{\displaystyle ut}
有相同边界,将它们相减(符号约定是为正确处理分次)会得到上循环(差值的边界变为零),这样就得到了良定义的同调元素——这一步类似于用n 维映射/链的空同伦/空同调的不确定性来定义第
n
+
1
{\displaystyle n+1}
个同伦/同调群。
从几何学角度来看,在流形的奇异上同调 中,可按庞加莱对偶 用有界流形与交来解释积:与上循环对偶的是循环,常表为无界闭流形;与积对偶的是交;与有界积相减对偶的是将两有界流形沿边界粘合,得到闭流形,表示梅西积的同调类对偶。实际上,流形同调类不总能用流形表示,因为循环可能有奇点,但这时对偶图是正常的。
更一般地说,
H
∗
(
Γ
)
{\displaystyle H^{*}(\Gamma )}
的n 个元素的n 元梅西积
⟨
a
1
,
1
,
a
2
,
2
,
…
,
a
n
,
n
⟩
{\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }
定义为如下形式的元素之集
a
¯
1
,
1
a
2
,
n
+
a
¯
1
,
2
a
3
,
n
+
⋯
+
a
¯
1
,
n
−
1
a
n
,
n
{\displaystyle {\bar {a}}_{1,1}a_{2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}}
对方程
d
a
i
,
j
=
a
¯
i
,
i
a
i
+
1
,
j
+
a
¯
i
,
i
+
1
a
i
+
2
,
j
+
⋯
+
a
¯
i
,
j
−
1
a
j
,
j
{\displaystyle da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}}
,
的所有解,其中
1
≤
i
≤
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}
、
(
i
,
j
)
≠
(
1
,
n
)
{\displaystyle (i,j)\neq (1,n)}
,
u
¯
{\displaystyle {\bar {u}}}
表示
(
−
1
)
deg
(
u
)
u
{\displaystyle (-1)^{\deg(u)}u}
。
高阶梅西积
⟨
a
1
,
1
,
a
2
,
2
,
…
,
a
n
,
n
⟩
{\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }
可看作是在所有
1
≤
i
≤
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}
的情形下求解后一个方程组的障碍,从这个意义上说,当且仅当这些方程可解时,包含了0上同调类。这样的n 元梅西积是
n
−
1
{\displaystyle n-1}
阶上同调运算,即要使它费用,很多低阶梅西运算必须包含0,且其代表的上同调类都通过涉及低阶运算的项来区分。2元梅西积是通常的上积,是一阶上同调运算;3元梅西积是二阶上同调运算 。
J. Peter May (1969 ) 描述了进一步的推广,称作矩阵梅西积 ,可描述艾伦伯格–摩尔谱序列 的微分。
三不互扣环 的补有非平凡梅西积。
三不互扣环 的补[ 1] 给出了一个三元梅西积有定义且非零的例子。注意补的上同调可用亚历山大对偶性 计算,若u 、v 、w 是与3环对偶的1上链,则任意两者之积都是相应环绕数 的倍数,因此为零,而三元梅西积都不为零,表明三不互扣环是相连的。代数反映几何:这些环两两不连接,对应二元梅西积为零;而总体上是连接的,对应三元梅西积不为零。
非平凡布伦尼环 ,对应不为零的梅西积
更一般地,使任意
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
个子链不相连,而整体的n 元链非平凡地链接的n 元布伦尼环 对应n 元梅西积,
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
元子链不连接,对应
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
元梅西积为零,n 元链对应n 元梅西积不为零。
Uehara & Massey (1957) 用梅西三元积证明,怀特海积 满足雅可比恒等式 。
计算扭曲K理论 时,高阶梅西积作为阿蒂亚–希策布鲁赫谱序列 (AHSS)出现。Atiyah & Segal (2006) 证明,若H 是扭曲3类,AHSS中作用在x 类上的高阶微分
d
2
p
+
1
{\displaystyle d_{2p+1}\ }
由p 份H 与1份x 的梅西积给出。
若流形是形式流形(formal manifold)(丹尼斯·苏利文 定义),则空间上所有梅西积都为零;因此,证明给定流形不形式的一种策略是找到非平凡梅西积。当中“形式流形”从其德拉姆复形 的有限维“最小模型”中推断得流形有理同伦类。Deligne et al. (1975) 证明,紧凯勒流形 是形式流形。
Salvatore & Longoni (2005) 用梅西积证明,透镜空间 两点的构型空间 的同伦类 非平凡地决定了透镜空间的简单同伦等价 类。
Atiyah, Michael ; Segal, Graeme , Twisted K-theory and cohomology, Inspired by S. S. Chern, Nankai Tracts in Mathematics 11 , Hackensack, NJ: World Scientific Publishers: 5–43, 2006, ISBN 978-981-270-061-2 , MR 2307274 , S2CID 119726615 , arXiv:math.KT/0510674 , doi:10.1142/9789812772688_0002
Deligne, Pierre ; Griffiths, Phillip ; Morgan, John ; Sullivan, Dennis , Real homotopy theory of Kähler manifolds, Inventiones Mathematicae , 1975, 29 (3): 245–274, Bibcode:1975InMat..29..245D , MR 0382702 , S2CID 1357812 , doi:10.1007/BF01389853
Massey, William S. , Some higher order cohomology operations, Symposium internacional de topología algebraica (International symposium on algebraic topology), Mexico City: Universidad Nacional Autónoma de México and UNESCO: 145–154, 1958, MR 0098366
May, J. Peter , Matric Massey products, Journal of Algebra , 1969, 12 (4): 533–568, MR 0238929 , doi:10.1016/0021-8693(69)90027-1
McCleary, John, A User's Guide to Spectral Sequences, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 58 2nd, Cambridge University Press , 2001, ISBN 978-0-521-56759-6 , MR 1793722 , Chapter 8, "Massey products", pp. 302–304; "Higher order Massey products", pp. 305–310; "Matric Massey products", pp. 311–312
Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo, Configuration spaces are not homotopy invariant, Topology , 2005, 44 (2): 375–380, MR 2114713 , S2CID 15874513 , arXiv:math/0401075 , doi:10.1016/j.top.2004.11.002
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