极小多项式
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在抽象代数中,一个域上的代数元 之极小多项式(或最小多项式)是满足
的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1)
。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。
形式定义
设 为一个域,
为有限维
-代数。对任一元素
,集合
张出有限维向量空间,所以存在非平凡的线性关系 :
可以假设 ,此时多项式
满足
。根据多项式环里的除法,可知这类多项式中只有一个次数最小者,称之为
的极小多项式。
由此可导出极小多项式的次数等于 ,而且
可逆若且唯若其极小多项式之常数项非零,此时
可以表成
的多项式。
矩阵的极小多项式
考虑所有 矩阵构成的
-代数
,由于
,此时可定义一个
矩阵之极小多项式,而且其次数至多为
;事实上,根据凯莱-哈密顿定理,可知其次数至多为
,且其根属于该矩阵的特征值集。
极小多项式是矩阵分类理论(若尔当标准型、有理标准形)的关键。
极小多项式与代数扩张
设 为
的有限扩张,此时可视
为有限维
-代数。根据域的性质,极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。