穆尔-彭罗斯广义逆

穆尔-彭罗斯广义逆（英语：Moore–Penrose pseudoinverse），通常标记为${\displaystyle A^{\dagger }}$或${\displaystyle A^{+}}$，是著名的广义逆矩阵之一。

1903年，埃里克·伊瓦尔·弗雷德霍姆提出积分算子的伪逆的概念。穆尔-彭罗斯广义逆先后被E·H·穆尔（1920年）^[1]、阿尔内·比耶哈马尔（英语：Arne Bjerhammar）（1951年） ^[2]、罗杰·潘洛斯（1955年）^[3]发现或描述。

它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解（最小二乘法）。

矩阵的穆尔-彭罗斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。

定义

定义一

令P_S表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A，设R(A)表示A的值域空间。穆尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件：

${\displaystyle {\boldsymbol {AG}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A}})},{\boldsymbol {GA}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A_{H}}})}}$

以上两个条件称为穆尔条件。满足穆尔条件的矩阵G称为矩阵A的穆尔逆矩阵。

定义二

彭罗斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件^[3]：

1. ${\displaystyle {\boldsymbol {AGA}}={\boldsymbol {A}}}$， ${\displaystyle {\boldsymbol {AG}}}$不一定是单位矩阵，但却不会改变${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$的列向量。
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {GAG}}={\boldsymbol {G}}}$， ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$是乘法半群的弱逆
3. ${\displaystyle ({\boldsymbol {AG}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {AG}}}$， ${\displaystyle {\boldsymbol {AG}}}$是埃尔米特矩阵
4. ${\displaystyle ({\boldsymbol {GA}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {GA}}}$， ${\displaystyle {\boldsymbol {GA}}}$也是埃尔米特矩阵

以上四个条件常称穆尔-彭罗斯条件。满足全部四个条件的矩阵G，就称为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。

性质

从穆尔-彭罗斯条件出发，彭罗斯推导出了穆尔-彭罗斯广义逆的一些性质^[3]：

• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{\dagger })^{H}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}={\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }={\boldsymbol {A}}^{H}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }{\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$，${\displaystyle ({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})}$和${\displaystyle ({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})}$都是幂等矩阵。

存在性和唯一性

伪逆存在且唯一：对于任何矩阵${\displaystyle A}$，恰好有一个矩阵${\displaystyle A^{\dagger }}$满足定义的四个性质。^[4]

满足该定义的第一个条件的矩阵被称为广义逆。如果该矩阵也满足第二个定义，它就被称为广义反身逆阵（generalized reflexive inverse）。广义逆矩阵总存在，但一般不唯一。唯一性是最后两个条件的结果。

基本性质

这些性质的证明可以在维基教科书中找到。

• 如果 ${\displaystyle A}$ 有实数项，那么 ${\displaystyle A^{\dagger }}$也有。
• 如果 ${\displaystyle A}$ 是可逆的，它的伪逆就是它的逆矩阵，即： ${\displaystyle A^{\dagger }=A^{-1}}$.^[5]:243
• 零矩阵的伪逆是它的转置。
• 矩阵伪逆的伪逆是原矩阵，即： ${\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A}$.^[5]:245
• 伪转置与转置、复共轭和共轭转置可以交换：^[5]:245

  ${\displaystyle \left(A^{\textsf {T}}\right)^{\dagger }=\left(A^{\dagger }\right)^{\textsf {T}}}$, ${\displaystyle \left({\overline {A}}\right)^{\dagger }={\overline {A^{\dagger }}}}$, ${\displaystyle \left(A^{*}\right)^{\dagger }=\left(A^{\dagger }\right)^{*}}$.

• 矩阵 ${\displaystyle A}$ 的标量乘法的伪逆是 ${\displaystyle A^{\dagger }}$ 的标量的倒数的乘法：

  ${\displaystyle \left(\alpha A\right)^{\dagger }=\alpha ^{-1}A^{\dagger }}$ 对于 ${\displaystyle \alpha \neq 0}$.

恒等式

下面的恒等式可以用来判定部分涉及伪逆的子表达式的正确性：$${\displaystyle A={}A{}A^{*}{}A^{\dagger *}{}={}A^{\dagger *}{}A^{*}{}A}$$同样的，将 ${\displaystyle A^{\dagger }}$ 替换为 ${\displaystyle A}$ 会得到：$${\displaystyle A^{\dagger }={}A^{\dagger }{}A^{\dagger *}{}A^{*}{}={}A^{*}{}A^{\dagger *}{}A^{\dagger }}$$当用 ${\displaystyle A^{*}}$ 替代 ${\displaystyle A}$ 时，会得到：$${\displaystyle A^{*}={}A^{*}{}A{}A^{+}{}={}A^{+}{}A{}A^{*}.}$$

埃尔米特情况

伪逆的计算可以简化为其在埃尔米特情况下的构造，这可以通过等价关系实现：$${\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{+}A^{*},}$$$${\displaystyle A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{+},}$$其中${\displaystyle A^{*}A}$ 和 ${\displaystyle AA^{*}}$ 是埃尔米特矩阵。

乘积

令${\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n},\ B\in \mathbb {k} ^{n\times p}}$，下列等式等价：^[6]

1. ${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$
2. ${\textstyle {\begin{aligned}A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}&=BB^{*}A^{*},\\BB^{\dagger }A^{*}AB&=A^{*}AB.\end{aligned}}}$
3. ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A^{\dagger }ABB^{*}\right)^{*}&=A^{\dagger }ABB^{*},\\\left(A^{*}ABB^{\dagger }\right)^{*}&=A^{*}ABB^{\dagger }.\end{aligned}}}$
4. ${\displaystyle A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}ABB^{\dagger }=BB^{*}A^{*}A}$
5. ${\displaystyle {\begin{aligned}A^{\dagger }AB&=B(AB)^{\dagger }AB,\\BB^{\dagger }A^{*}&=A^{*}AB(AB)^{\dagger }.\end{aligned}}}$

下方列出了 ${\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}$的充分条件：

1. ${\displaystyle A}$ 的列单位正交（此时${\displaystyle A^{*}A=A^{\dagger }A=I_{n}}$），或
2. ${\displaystyle B}$ 的行单位正交 （此时 ${\displaystyle BB^{*}=BB^{\dagger }=I_{n}}$） ，或
3. ${\displaystyle A}$ 的列线性无关（此时 ${\displaystyle A^{\dagger }A=I}$ ） 同时 ${\displaystyle B}$ 的行线性无关（此时 ${\displaystyle BB^{\dagger }=I}$），或
4. ${\displaystyle B=A^{*}}$，或
5. ${\displaystyle B=A^{\dagger }}$。

下方列出了 ${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$的必要条件：

1. ${\displaystyle (A^{\dagger }A)(BB^{\dagger })=(BB^{\dagger })(A^{\dagger }A)}$

由最后一个充分条件得出等式：$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(AA^{*}\right)^{+}&=A^{+*}A^{+},\\\left(A^{*}A\right)^{+}&=A^{+}A^{+*}.\end{aligned}}}$$注意: 等式 ${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$ 一般不成立，例如：$${\displaystyle {\Biggl (}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}{\Biggr )}^{+}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}\quad \neq \quad {\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{4}}&0\\{\tfrac {1}{4}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{2}}\\0&{\tfrac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}^{+}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}}$$

投影

${\displaystyle P=AA^{\dagger }}$ 和 ${\displaystyle Q=A^{\dagger }A}$ 是正交投影算子，即它们是埃尔米特矩阵（${\displaystyle P=P^{*}}$，${\displaystyle Q=Q^{*}}$）和幂等矩阵（${\displaystyle P^{2}=P}$，${\displaystyle Q^{2}=Q}$）。以下性质成立：

• ${\displaystyle PA=AQ=A}$ ，${\displaystyle A^{\dagger }P=QA^{\dagger }=A^{\dagger }}$
• ${\displaystyle P}$ 是正交投影算子，投影到 ${\displaystyle A}$ 的值域（也就是 ${\displaystyle A^{*}}$ 的核的正交补空间）。
• ${\displaystyle Q}$ 是正交投影算子，投影到 ${\displaystyle A^{*}}$ 的值域（也就是 ${\displaystyle A}$ 的核的正交补空间）。
• ${\displaystyle (I-Q)=\left(I-A^{\dagger }A\right)}$ 是正交投影算子，投影到 ${\displaystyle A}$ 的核。
• ${\displaystyle (I-P)=\left(I-AA^{\dagger }\right)}$ 是正交投影算子，投影到 ${\displaystyle A^{*}}$ 的核。^[4]

最后两条性质隐含了下列等式：

• ${\displaystyle A\,\ \left(I-A^{\dagger }A\right)=\left(I-AA^{\dagger }\right)A\ \ =0}$
• ${\displaystyle A^{*}\left(I-AA^{\dagger }\right)=\left(I-A^{\dagger }A\right)A^{*}=0}$

如果 ${\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{n\times n}}$ 是埃尔米特矩阵和幂等矩阵（当且仅当它为正交投影矩阵），则对于任意矩阵 ${\displaystyle B\in \mathbb {k} ^{m\times n}}$ ，下式成立：^[7]$${\displaystyle A(BA)^{\dagger }=(BA)^{\dagger }}$$这一条性质可以如此证明：定义矩阵 ${\displaystyle C=BA}$, ${\displaystyle D=A(BA)^{\dagger }}$，当 ${\displaystyle A}$ 是埃尔米特矩阵和幂等矩阵时，通过验证伪逆的性质可以检查 ${\displaystyle D}$ 确实是 ${\displaystyle C}$ 的一个伪逆。从上一条性质可以看出，当 ${\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{n\times n}}$ 是埃尔米特矩阵和幂等矩阵时，对于任意矩阵 ${\displaystyle B\in \mathbb {k} ^{n\times m}}$

$${\displaystyle (AB)^{\dagger }A=(AB)^{\dagger }}$$

当 ${\displaystyle A}$ 是一个正交投影矩阵，则它的伪逆就是它自身，即 ${\displaystyle A^{\dagger }=A}$。

几何结构

如果我们把矩阵看作是一个在数域 ${\displaystyle \mathbb {k} }$ 上的线性映射 ${\displaystyle A:\mathbb {k} ^{n}\to \mathbb {k} ^{m}}$， 那么 ${\displaystyle A^{\dagger }:\mathbb {k} ^{m}\to \mathbb {k} ^{n}}$ 可以被分解如下。首先定义符号： ${\displaystyle \oplus }$ 表示直和， ${\displaystyle \perp }$ 表示正交补，${\displaystyle \ker }$ 表示映射的核， ${\displaystyle \operatorname {ran} }$ 表示映射的像。注意 ${\displaystyle \mathbb {k} ^{n}=\left(\ker A\right)^{\perp }\oplus \ker A}$ 和 ${\displaystyle \mathbb {k} ^{m}=\operatorname {ran} A\oplus \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }}$。 限制条件 ${\displaystyle A:\left(\ker A\right)^{\perp }\to \operatorname {ran} A}$ 则是一个同构。这意味着 ${\displaystyle A^{\dagger }}$ 在 ${\displaystyle \operatorname {ran} A}$ 上时这个同构的逆，在 ${\displaystyle \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }}$ 上则是零。

换而言之，对于给定的 ${\displaystyle b\in \mathbb {k} ^{m}}$ 要找到 ${\displaystyle A^{\dagger }b}$，首先将 ${\displaystyle b}$ 正交投影在 ${\displaystyle A}$ 的值域中，找到点 ${\displaystyle p(b)}$，然后构建 ${\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})}$，即就是在 ${\displaystyle \mathbb {k} ^{n}}$ 中，会被 ${\displaystyle A}$ 投影到 ${\displaystyle p(b)}$ 的点。这是 ${\displaystyle \mathbb {k} ^{n}}$ 的一个平行于 ${\displaystyle A}$ 的核的仿射子空间。这个子空间中长度最小的元素（也就是最靠近原点的元素），就是我们寻找的 ${\displaystyle A^{+}b}$ 的解。它可以通过从 ${\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})}$ 中选择任意元素，并将其投影在 ${\displaystyle A}$ 的核的正交补空间而得到。

以上描述与线性系统的最小范数解密切相关。

子空间

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ker \left(A^{+}\right)&=\ker \left(A^{*}\right)\\\operatorname {ran} \left(A^{+}\right)&=\operatorname {ran} \left(A^{*}\right)\end{aligned}}}$$

极限

伪逆可以由极限定义：$${\displaystyle A^{\dagger }=\lim _{\delta \searrow 0}\left(A^{*}A+\delta I\right)^{-1}A^{*}=\lim _{\delta \searrow 0}A^{*}\left(AA^{*}+\delta I\right)^{-1}}$$（参见吉洪诺夫正则化）。当 ${\displaystyle \left(AA^{*}\right)^{-1}}$ 或 ${\displaystyle \left(A^{*}A\right)^{-1}}$不存在时，这些极限仍然存在。^[4]:263

连续性

与一般的矩阵求逆不同，求伪逆的过程并不连续：如果序列 ${\displaystyle \left(A_{n}\right)}$ 收敛到矩阵 ${\displaystyle A}$ （在最大范数或弗罗贝尼乌斯范数意义下），则 ${\displaystyle (A_{n})^{\dagger }}$ 不一定收敛于 ${\displaystyle A^{\dagger }}$. 然而，如果所有的矩阵 ${\displaystyle A_{n}}$ 与 ${\displaystyle A}$ 有相同的秩，则 ${\displaystyle (A_{n})^{\dagger }}$ 将收敛于 ${\displaystyle A^{\dagger }}$.^[8]

导数关系

实值伪逆矩阵的导数，该矩阵在某点${\displaystyle x}$处具有恒定的秩 可以用原矩阵的导数来计算：^[9]$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{\dagger }(x)=-A^{\dagger }\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A\right)A^{\dagger }~+~A^{\dagger }A^{\dagger {\textsf {T}}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{\textsf {T}}\right)\left(I-AA^{\dagger }\right)~+~\left(I-A^{\dagger }A\right)\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}A^{\textsf {T}}\right)A^{\dagger {\textsf {T}}}A^{\dagger }}$$

例子

对于可逆矩阵，其广义逆为其一般的逆矩阵，所以以下仅举一些不可逆矩阵的例子。

• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$，其广义逆矩阵为${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$（通常零矩阵的广义逆矩阵为其转置）。该广义逆矩阵的唯一性可以认为时由性质${\displaystyle A^{\dagger }=A^{\dagger }AA^{\dagger }}$得出的，因为与零矩阵相乘总会得到零矩阵。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}$，其广义逆矩阵为 ${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}}$。
  • 事实上，${\displaystyle A\,A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$，所以 ${\displaystyle A\,A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}=A}$。
  • 类似的， ${\displaystyle A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$，由此 ${\displaystyle A^{\dagger }A\,A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{\dagger }}$。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}}}$，其广义逆矩阵为${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}}$。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}}}$，其广义逆矩阵为${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}}$。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$，其广义逆矩阵为${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}}$。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}}}$，其广义逆矩阵为 ${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$ 。对于该矩阵，其左逆存在且等于${\displaystyle A^{\dagger }}$，事实上，${\displaystyle A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$。

参考

书籍

• 张贤达. 矩阵分析与应用. 北京: 清华大学出版社. 2004年9月: 85–99. ISBN 7-302-09271-0 （中文）.

文献

1. Moore, E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society. 1920, 26 (9): 394–395 [2012-12-01]. doi:10.1090/S0002-9904-1920-03322-7. （原始内容存档于2020-08-13）.
2. Bjerhammar, Arne. Application of calculus of matrices to method of least squares; with special references to geodetic calculations. Trans. Roy. Inst. Tech. Stockholm. 1951, 49.
3. Penrose, Roger. A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1955, 51: 406–413. doi:10.1017/S0305004100030401.
4. Golub, Gene H.; Charles F. Van Loan. Matrix computations 3rd. Baltimore: Johns Hopkins. 1996: 257–258. ISBN 978-0-8018-5414-9.
5. Stoer, Josef; Bulirsch, Roland. Introduction to Numerical Analysis 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95452-3..
6. Greville, T. N. E. Note on the Generalized Inverse of a Matrix Product. SIAM Review. 1966-10-01, 8 (4): 518–521 [2022-05-10]. ISSN 0036-1445. doi:10.1137/1008107. （原始内容存档于2022-06-17）.
7. Maciejewski, Anthony A.; Klein, Charles A. Obstacle Avoidance for Kinematically Redundant Manipulators in Dynamically Varying Environments. International Journal of Robotics Research. 1985, 4 (3): 109–117. S2CID 17660144. doi:10.1177/027836498500400308. hdl:10217/536 .
8. Rakočević, Vladimir. On continuity of the Moore–Penrose and Drazin inverses (PDF). Matematički Vesnik. 1997, 49: 163–72 [2022-05-10]. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-03）.
9. Golub, G. H.; Pereyra, V. The Differentiation of Pseudo-Inverses and Nonlinear Least Squares Problems Whose Variables Separate. SIAM Journal on Numerical Analysis. April 1973, 10 (2): 413–32. Bibcode:1973SJNA...10..413G. JSTOR 2156365. doi:10.1137/0710036.