截面曲率维基百科,自由的 encyclopedia 在黎曼几何中,截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率 K ( σ p ) {\displaystyle K(\sigma _{p})} 依赖于p点的切空间里的一个二维平面 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} 。它就定义为该截面,考虑在 p 点以平面 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} 作为切平面的曲面 S p {\textstyle S_{p}} ,这曲面是收集流形中某包含 p {\displaystyle p} 的邻域内从 p 点出发的测地线且这测地线在 p {\displaystyle p} 点的切向量属于截面 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} (换句话说就是 S p = exp p U {\textstyle S_{p}=\exp _{p}U} 其中 U ⊆ σ p {\textstyle U\subseteq \sigma _{p}} 是 σ p {\textstyle \sigma _{p}} 里包含原点的邻域),而截面曲率 K ( σ p ) {\displaystyle K(\sigma _{p})} 就是曲面 S p {\displaystyle S_{p}} 在 p {\displaystyle p} 点的高斯曲率。形式上,截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。 截面曲率完全决定了曲率张量,是非常有用的几何概念。
在黎曼几何中,截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率 K ( σ p ) {\displaystyle K(\sigma _{p})} 依赖于p点的切空间里的一个二维平面 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} 。它就定义为该截面,考虑在 p 点以平面 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} 作为切平面的曲面 S p {\textstyle S_{p}} ,这曲面是收集流形中某包含 p {\displaystyle p} 的邻域内从 p 点出发的测地线且这测地线在 p {\displaystyle p} 点的切向量属于截面 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} (换句话说就是 S p = exp p U {\textstyle S_{p}=\exp _{p}U} 其中 U ⊆ σ p {\textstyle U\subseteq \sigma _{p}} 是 σ p {\textstyle \sigma _{p}} 里包含原点的邻域),而截面曲率 K ( σ p ) {\displaystyle K(\sigma _{p})} 就是曲面 S p {\displaystyle S_{p}} 在 p {\displaystyle p} 点的高斯曲率。形式上,截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。 截面曲率完全决定了曲率张量,是非常有用的几何概念。