截对角偏方面体

在几何学中，截对角偏方面体是一种多面体，可以透过将偏方面体截去上下两个顶点构成，并具备二面体群对称性^[1]。它的命名方式是根据上下两个面的形状而命名的，例如：正十二面体可以视为是截对角正五方偏方面体，它的上下两个面都是正五边形，其他的面也是五边形；^[2]:251截对角四方偏方面体（英语：Square truncated trapezohedron）的上下两个面则是正方形或四边形，其他的面则是五边形，依此类推。部分的截对角偏方面体可以作为化学的分子笼结构。^[3]

截对角偏方面体

以正十二面体作为截对角五方偏方面体为例
类别	截对角偏方面体
对偶多面体	双锥反柱体
性质
面	${\displaystyle {{{2}\,{n}}+{2}}}$
边	${\displaystyle {{6}\,{n}}}$
顶点	${\displaystyle {{4}\,{n}}}$
欧拉特征数	F=${\displaystyle {{{2}\,{n}}+{2}}}$, E=${\displaystyle {{6}\,{n}}}$, V=${\displaystyle {{4}\,{n}}}$ （χ=2）
组成与布局
面的种类	2n个五边形，2个n边形
对称性
对称群	Dnd, [2+,2n], (2*n), 阶数 4n
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	Dn, [2,2n]+, (22n), 阶数 2n
特性
凸
注：${\displaystyle n}$为底面边数 。
查 论 编

形状

截对角偏方面体可以根据其底面边数分类：

• 截对角三方偏方面体 （杜勒立体）：

  由6个五边形和2个三角形组成，对偶多面体为双三角锥反角柱。截对角三方偏方面体出现于丢勒的名作《忧郁I》中，并且画作中的描绘的具体形状是否为截对角三方偏方面体曾在学术界引发讨论^[4][5]。

• 截对角四方偏方面体（英语：Square truncated trapezohedron）：

  由8个五边形和2个正方形组成，对偶多面体为双四角锥反角柱。截对角四方偏方面体是16个碳的富勒烯可形成的一种可能结构。^[6]:81

• 截对角五方偏方面体或正十二面体：

  由12个五边形组成，对偶多面体为正二十面体。截对角五方偏方面体的每一个面都是五边形，在拓朴结构上与正十二面体无异。^[2]:251

• 截对角六方偏方面体：

  由12个五边形和2个六边形组成，对偶多面体为双六角锥反角柱。截对角六方偏方面体的变体结构^[7][8]可以与五角十二面体共同构成韦尔—费伦结构^[9]，其代表了大小相等的气泡所形成的理想化泡沫结构的一种解。^[9][10]

• ...
• 截对角n方偏方面体：

  由2n个五边形和2个n边形组成，对偶多面体为双n角锥反角柱。

相关多面体

截顶角偏方面体

截顶角偏方面体又称截一角偏方面体是指截去一个顶角的偏方面体。其对偶多面体为角锥反角柱。若截顶角偏方面体的底面边数为n，则其会有2n+1个面、5n条边和3n+1个顶点。

3	4	5	6
截顶角三方偏方面体	截顶角四方偏方面体	截顶角五方偏方面体	截顶角六方偏方面体

参见

• 半偏方面体

参考文献

1. Katrina Biele, Yuan Feng, David Heras, Ahmed Tadde. Associating Finite Groups with Dessins d’Enfants (PDF). Purdue Research in Mathematics Experience (PRiME), Department of Mathematics, Purdue University. 2013 [2021-10-23]. （原始内容存档 (PDF)于2021-10-23）.
2. Alsina, C. and Nelsen, R.B. A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. Dolciani Mathematical Expositions. Mathematical Association of America. 2015. ISBN 9781614442165.
3. Seong-Pil Kang, Ju-Young Shin, Jong-Se Lim, Sangyong Lee. Experimental measurement of the induction time of natural gas Hydrate and its prediction with polymeric kinetic inhibitor. Chemical Engineering Science. 2014-09, 116: 817–823 [2021-10-07]. doi:10.1016/j.ces.2014.04.035. （原始内容存档于2018-06-09） （英语）.
4. Weitzel, Hans, A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I, Historia Mathematica, 2004, 31 (1): 11–14, doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6 
5. Ziegler, Günter M., Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube, Alex Bellos's Adventures in Numberland, The Guardian, December 3, 2014 [2021-10-23], （原始内容存档于2020-11-11）
6. Diudea, M.V. and Nagy, C.L. Diamond and Related Nanostructures. Carbon Materials: Chemistry and Physics. Springer Netherlands. 2013. ISBN 9789400763715.
7. Wang, Dong and Cherkaev, Andrej and Osting, Braxton. Dynamics and stationary configurations of heterogeneous foams. PloS one (Public Library of Science). 2019, 14 (4): e0215836.
8. Jing Fan, Shin-Hyun Kim, Zi Chen, Shaobing Zhou, Esther Amstad, Tina Lin, David A. Weitz. Creation of Faceted Polyhedral Microgels from Compressed Emulsions (PDF). seas.harvard.edu. [2021-10-23]. （原始内容存档 (PDF)于2021-10-23）.
9. Wearie-Phelan Bubbles. steelpillow.com. [2019-10-05]. （原始内容存档于2019-08-06）.
10. Șerban, D. A., Sărăndan, S., Negru, R., Belgiu, G., & Marşavina, L., A Parametric Study of the Mechanical Properties of Open-Cell Kelvin Structures, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 416 (1) (IOP Publishing), 2018, 416 (1): 012108

外部链接

• Conway Notation for Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） 该连结是一个输入康威多面体表示法会输出对应几何体的工具，可输入“tndAn”获得截对角偏方面体，其中n=4,5,6。例如“t5dA5”是截对角五方偏方面体，即正十二面体。
• 截对角四方偏方面体：t4dA4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 截对角五方偏方面体：t5dA5 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 截对角六方偏方面体：t6dA6 （页面存档备份，存于互联网档案馆）