平均数不等式,或称平均值不等式、均值不等式,是数学上的一组不等式,也是算术-几何平均值不等式的推广。它是说:
即
其中:
当且仅当
,等号成立。
即对这些正实数:调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数(方均根)
简记为:“调几算方”
关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法:
用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。
引理:设
,
,则
,且仅当
时取等号。
引理的正确性较明显,条件
,
可以弱化为
,
,可以用数学归纳法证明。
原题等价于:
,当且仅当
时取等号。
当
时易证;
假设当
时命题成立,即
,当且仅当
时取等号。
那么当
时,不妨设
是
、
中最大者,则
设
,
,根据引理
,当且仅当
且
时,即
时取等号。
此外,人教版高中数学教科书《选修4-5 不等式选讲》也介绍了一个运用数学归纳法的证明方法[1]。
先运用数学归纳法证明一个引理:若
(
是正整数)个正数
的乘积
,则它们的和
,当且仅当
时等号成立。
此引理证明如下:
当
时命题为:若
,则
,当且仅当
时等号成立。命题显然成立。
假设当
时命题成立,则现在证明当
时命题也成立。
若这
个数全部是1,即
,则命题显然成立。
若这
个数不全是1,则易证明必存在
使
。不妨设
。由归纳假设,因为
,所以
,记此式为①式。由
,知
,则
,整理得
,记此式为②式。①+②得
,整理得
(此时等号不成立),命题成立。
综上,由数学归纳法,引理成立。
现在为了证明平均值不等式,考虑
个正数
,它们的积为1,由引理,它们的和
,当且仅当
即
时等号成立。
整理即得:
,当且仅当
时等号成立。于是
得证。
利用
,易证
。考虑
个正数
,有
,当且仅当
即
时等号成立。两边取倒数整理得
,当且仅当
时等号成立,即
。
等价于
。事实上,
等于
的方差,通过这个转化可以证出
,证明如下。
,
当且仅当
时等号成立。
利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式,同时还有柯西归纳法等方法。