幂零元

此条目的主题是环论中的幂零元。关于群论中的幂零群，请见“幂零群”。

在抽象代数中，对环 ${\displaystyle R}$ 的一个元素 ${\displaystyle x}$ ，若存在一个正整数 ${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle x^{n}}$ 等于环 ${\displaystyle R}$的加法单位元时，称 ${\displaystyle x}$ 是一个幂零元（英语：nilpotent element）。

例子

• 首先来看一个矩阵中的例子。在3阶方阵中，矩阵：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

是一个幂零元，因为 ${\displaystyle A^{3}=0}$。

• 在商环Z/9Z中，同余类3是一个幂零元，因为3²是同余类0。

• 对不满足交换律的环 ${\displaystyle R}$中，如果元素 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 满足 ${\displaystyle ab=0}$ ，那么元素 ${\displaystyle c=ba}$（如果非零的话）是一个幂零元，因为 ${\displaystyle c^{2}=(ba)(ba)=b(ab)a=0}$ 。在矩阵环中的一个例子是：

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}},\;\;A_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\ }$

其中 ${\displaystyle A_{1}A_{2}=0,\;(A_{2}A_{1})^{2}=0}$

性质

在非平凡的交换环中，幂零元不可能是乘法的可逆元。每个幂零元显然都是零因子。

在交换环中，所有的幂零元组成一个理想，称作这个环的诣零根（英语：Nilradical of a ring）。每个素理想都包含所有的幂零元，实际上，所有素理想的交集就是环的诣零根。

如果 ${\displaystyle x}$ 是幂零元，那么 ${\displaystyle 1-x}$ 是一个可逆元，因为由 ${\displaystyle x^{n}=0}$ 可得

${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\dots +x^{n-1}=1-x^{n}=1}$ 。

更一般地，在满足交换律的情况下，可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元。

一个域上的n阶方阵是幂零元，当且仅当它的特征多项式等于${\displaystyle t^{n}}$。

参见

• 环