希格斯丛

数学中，希格斯丛是由全纯向量丛E和希格斯场${\displaystyle \varphi }$（在E的自同态丛中取值的全纯1-形式，满足${\displaystyle \varphi \wedge \varphi =0}$）组成的二元组${\displaystyle (E,\varphi )}$。Nigel Hitchin （1987）^[1]以彼得·希格斯命名了场${\displaystyle \varphi }$，因为它与希格斯玻色子相似。卡洛斯·辛普森后来引入了“希格斯丛”这一术语，以及条件${\displaystyle \varphi \wedge \varphi =0}$（在希钦最初在黎曼曲面上的设置中此条件是空的）。^[2]

希格斯丛可视作全纯向量丛上平坦全纯仿射联络的“简化”，其中导数缩放至0。非阿贝尔霍奇对应指出，在合适的稳定性条件下，光滑射影复代数簇上的平坦全纯联络范畴、此簇的基本群表示范畴、此簇上的希格斯丛范畴实际上等价。于是，可由较简单的希格斯丛推导出关于平坦联络的规范理论结果。

历史

希格斯丛由希钦 (1987)首次引入，^[1]针对的是全纯向量丛E在紧黎曼曲面上的情形。希钦的论文主要讨论秩为2的向量丛（即纤维是2维向量空间）。秩2向量丛是希钦方程中主SU(2)丛的解空间。

黎曼曲面上的理论后由卡洛斯·辛普森推广到底流形为紧凯勒流形的情形。维度设为1时，会退化成希钦的理论。

稳定性

希格斯丛理论中，稳定希格斯丛的概念尤为重要。为此要先定义${\displaystyle \varphi }$-不变子丛。

在希钦最初的讨论中，若${\displaystyle \varphi (L)\subset L\otimes K}$（K是黎曼曲面M上的规范丛），则标记为L的秩1子丛是${\displaystyle \varphi }$-不变的。则，当对E的每个${\displaystyle \varphi }$-不变子丛L，都有 $${\displaystyle {\text{deg}}L<{\frac {1}{2}}{\text{deg}}(\wedge ^{2}E),}$$ 其中${\displaystyle {\text{deg}}}$是黎曼曲面上复向量丛度数的通常表示，希格斯丛${\displaystyle (E,\varphi )}$就是稳定的。

另见

• 希钦系统

参考文献

1. Hitchin, Nigel. The self-duality equations on a Riemann surface. London Mathematical Society. 1987, 55 (1): 59–126 [2022-11-10]. doi:10.1112/plms/s3-55.1.59. （原始内容存档于2022-11-12）.
2. Simpson, Carlos. Higgs bundles and local systems (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1992, 75 (1): 5–95 [10 November 2022]. S2CID 56417181. doi:10.1007/BF02699491. （原始内容存档 (PDF)于2022-11-24）.

• Corlette, Kevin. Flat G-bundles with canonical metrics. Journal of Differential Geometry. 1988, 28 (3): 361–382. MR 0965220. doi:10.4310/jdg/1214442469 .
• Gothen, Peter B.; García-Prada, Oscar; Bradlow, Steven B., What is... a Higgs bundle? (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 2007, 54 (8): 980–981 [2024-05-23], MR 2343296, （原始内容存档 (PDF)于2024-03-04）