在数学中,实闭域或实封闭域是一类有序域,使得其中每个正元素皆可表为平方,且任何奇数次多项式都有根。以下将给出几种等价的定义。
- 实数域
![{\displaystyle \mathbb {R} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
;它是
的实闭包。
- 可计算数
- Puiseux级数
实封闭域的研究首先由数学家展开,随后引起了逻辑学家的兴趣。采用形式语言
,设
为实封闭域(带序结构)的
-一阶理论,塔斯基证明了
上有量词消去;因此任两个
的模型都是初等等价的。一方面,我们可运用
上的特有工具(微积分、拓扑等等)证明一般实封闭域上的一阶句子;另一方面,则可透过适当的域扩张解决
上的问题,后一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 对希尔伯特第十七问题的证明。
如果改采形式语言
,并取实封闭域的代数定义
,此时则无法消去量词(在
中考虑公式
)。
设
是实封闭域,换言之
,根据
上的量词消去,
上的可定义集只是有限多个线段与孤立点的联集。此性质称作O-极小性,它较量词消去为弱,却是研究
上可定义集的几何构造之关键。
量词消去也蕴含
的可判定性,然而塔斯基给出的演算法其复杂度过高,并不实用。
若承认广义连续统假设,则可进一步以超积描述实封闭域的性状。
- Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
- H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
- Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本 (页面存档备份,存于互联网档案馆)); 亦见 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
- Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在线版本)
- Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943