大基数

在集合论，大基数性质是超限基数可能具有的若干性质的统称。顾名思义，有某种大基数性质的基数（大基数）一般都很“大”（例如，比满足${\displaystyle \alpha =\omega _{\alpha }}$的最小的${\displaystyle \alpha }$更大，其中${\displaystyle \omega _{\alpha }}$的意义见阿列夫数）。大基数的存在性不能用最常见的ZFC集合论公理系统证明，所以，若需要大基数才能证明某些结论，则可用所需的大基数来衡量该结论“超出”ZFC的程度。其如达纳·斯科特所言，量化了“欲证更多，必先假设更多”。^[1]

常见大基数类别有不可达基数、拉姆齐基数（英语：Ramsey cardinal）、弱紧基数（英语：Weakly compact cardinal）和可测基数等，其中可测基数和拉姆齐基数都比弱紧基数强，而若假定选择公理，弱紧基数是不可达基数。

集合论界中有以下粗略约定：ZFC足以证明的结论叙述时不用列明前提“假设ZFC”，但若证明要求其他假设（例如存在某个大基数），则须列明。视乎哲学派别，或认为该约定仅是语言惯例，或认为其意义更重大（见研究动机和公理认受性一节）。

大基数公理是断言特定大基数存在的公理。例如，“存在3个不可达基数”便属大基数公理。

许多集合论者相信现时考虑的大基数公理皆与ZFC相容^{[来源请求]}。该些公理足以推出ZFC相容，因此ZFC（若相容）无法证明该些公理与ZFC相容，否则ZFC将证明自身的相容性，与哥德尔第二不完备定理矛盾。

并无准确定义何种性质为大基数性质，但大基数性质列表（英语：list of large cardinal properties）列举了若干较普遍接受的大基数性质。

部分定义

某个基数性质称为大基数性质有个必要条件：未知ZFC能证明不存在具有该种性质的基数，且已证明若ZFC相容，则ZFC与“不存在该种基数”也相容（即已证明ZFC（若相容）不能证出该种基数存在）。

相容强度层级

值得注意，虽然乔尔·哈姆金斯（英语：Joel David Hamkins）称找到不能比较相容强度的大基数公理^[2]，仍有许多自然的大基数公理按相容强度（英语：Equiconsistency）组成全序。换言之，对于大基数公理${\displaystyle A_{1}}$和${\displaystyle A_{2}}$，通常恰有以下三者之一：

1. 除非ZFC不相容，否则${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$相容当且仅当${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$相容；
2. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$证明${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$相容；
3. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$证明${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$相容。

此三者互斥，除非所提及的理论其实不相容。

情况1，称${\displaystyle A_{1}}$与${\displaystyle A_{2}}$等相容（英语：Equiconsistency）。情况2，称${\displaystyle A_{1}}$在相容意义下强于${\displaystyle A_{2}}$（情况3则反之）。若${\displaystyle A_{2}}$强于${\displaystyle A_{1}}$，则即使由${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}+{\mathsf {Cons}}({\mathsf {ZFC}}+A_{1})}$，也不能证明${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$相容（前提是${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$确实相容）。此为哥德尔第二不完备定理的推论。

由于未有大基数公理的准确定义（并有哈姆金斯的结果），以上观察无法成为定理。此外，对一些${\displaystyle A_{1},A_{2}}$，仍未知三个情况何者为真。萨哈龙·谢拉赫（英语：Saharon Shelah）问：“是否有定理解释，抑或是我们的目光比所以为的更单一？”^[3]同样值得注意，许多组合命题恰与某个大基数等相容，而非介于两个大基数的等相容强度之间。

等相容强度的顺序，不必等于具有该性质的最小基数的大小顺序。例如，巨大基数（英语：huge cardinal）的存在性，在相容意义下远强于超紧基数（英语：supercompact cardinal）的存在性，但假设两者皆存在，则首个巨大基数小于首个超紧基数^[4]。

研究动机和公理认受性

大基数可放在冯·诺伊曼全集${\displaystyle V}$理解。冯·诺伊曼全集是将幂集运算（将某集合的所有子集组成集合）超限叠代而得。无大基数的模型经常可视为有大基数的模型的子模型。例如，若有不可达基数，则在首个不可达基数${\displaystyle \kappa }$的高度将全集${\displaystyle V}$截断成${\displaystyle V_{\kappa }}$，便是无不可达基数的全集。又设有可测基数${\displaystyle \lambda }$，则叠代“可定义”幂集运算（而非完整的幂集运算），便得哥德尔可构全集（英语：Gödel's constructible universe）${\displaystyle L}$，其不认为存在可测基数，即使${\displaystyle L}$仍包含${\displaystyle \lambda }$（作为序数）。

所以，一些加州学派（英语：Cabal (set theory)）集合论者认为，大基数公理“说明”正在考虑全部“应当”考虑的集合，而否定大基数公理，则“限制”只考虑一部分集合。更甚者，大基数公理的后果似乎可以找到一定规律（见麦迪〈相信公理之二〉^[5]）。因此，该些集合论者倾向认为，大基数公理是ZFC的较好的扩展，胜于其他较少明确动机的公理（如马丁公理），也胜于他们直观认为较不可能的公理（如可构公理（英语：可構公理））。此派中的实在论者视大基数定理为“真”。

当然上述观点并不普遍。一些形式论者会断言，标准集合论，按其定义，是研究ZFC有何后果。其未必反对研究其他系统有何后果，而仅觉得无理由偏好大基数公理。也有实在论者不以极大存在论（英语：ontological maximalism）（即认为可存在之事皆存在）为接受大基数公理的合适动机，甚至相信大基数公理为假。此外，还有人指出，否定大基数公理并非“限制”，因为例如，虽然哥德尔可构全集${\displaystyle L}$不认为存在可测基数，但${\displaystyle L}$中也可以有传递集合模型认为存在可测基数。

参见

• 首个不可数序数
• ZFC系统无法确定的命题列表

参考资料

1. Bell, J.L. Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory [布尔值模型及集合论的独立性证明]. Oxford University Press. 1985. viii. ISBN 0-19-853241-5 （英语）.
2. Hamkins, Joel David. Nonlinearily in the hierarchy of large cardinal consistency strength [大基数的相容强度层级非线性] (PDF). 2021 [2021-08-20]. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-20） （英语）.
3. Shelah, Saharon. The Future of Set Theory [集合论的未来]. 2002. arXiv:math/0211397v1  （英语）. 引文使用过时参数version (帮助)
4. Morgenstern, Carl F. On the Ordering of Certain Large Cardinals [论某些大基数的次序]. The Journal of Symbolic Logic. 1979, 44 (4): 563–565. doi:10.2307/2273295 （英语）.
5. Maddy, Penelope. Believing the Axioms. II [相信公理之二] (PDF). The Journal of Symbolic Logic. 1988, 53 (3): 736–764 [2021-08-21]. doi:10.2307/2274569. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-21） （英语）.