拿破仑问题(Napoleon's problem)是著名的圆规作图问题,原题如下:
给定一圆和其圆心,只用圆规将此圆四等分。(此圆指的是圆周而不是圆面积)
此题目是由义大利数学家洛伦佐·马斯凯罗尼向拿破仑·波拿巴提出的问题,但我们不知道他是否有解出这个问题。此题目后来又更加进化,变成只给定一圆,只用圆规将此圆四等分,在这种情况必须先用圆规作图找到圆心。以上两种都被称为拿破仑问题。
找出圆心
设圆的半径为,圆的半径为,我们知道:
因为,所以
由于,可以得出
根据对称性,通过圆心,又,所以是圆的圆心。
四等分圆
由前面我们已经知道圆心的位置
- 在已知的圆上找任意一点 ,以为半径画弧 ,交圆于 、 两点。
- 以 为圆心,为半径画弧 ,交圆于 点(和 点)。
- (继续分别以 、 为圆心,、 为半径画弧,即可将圆六等分,)、、、 为四个六等分点(如图)。
- 以 为圆心,为半径画弧 ;以 为圆心,为半径画弧 ,两弧交于 点。
- 以 为圆心,取的长度 为半径画弧 ,交圆于 、 两点。
- 、、、 四点将圆四等分。
设圆的半径为,容易得出、、、、、、的长度都是,可以得出,根据毕氏定理可以得出,因此、、、四点将圆四等分。
参见
注解
参考资料
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