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圖的不變量 来自维基百科,自由的百科全书
在图论中,图属性(graph property)或图常量(graph invariant,又称图不变量)是图的一种性质,它只取决于其抽象结构,而不取决于图的表示形式如特定的图标号或图绘制形式。[1]
虽然图的绘制和图的表示都是图论中的有效课题,但为了只关注图的抽象结构,图属性被定义为在图的所有可能同构下仍存在的属性。换句话说,它是图本身的属性,而不是其特定的绘制或表示形式。非正式用法中,术语“常量”用于定量表示其属性,而“属性”用于定性描述图的特征。例如,语句“图没有度为1的顶点”为“属性”用法,而“图中度为1的顶点数量”为“常量”用法。
更正式地说,图属性是指具有相同属性的一类图,其任何两个同构图要么都属于该类,要么都不属于该类。[1]等价来说,可以使用这类图的指示函数(将图转化为布尔值的函数,属于该类的图为真,否则为假)将图属性形式化,其中任何两个同构图必须具有相同的函数值。类似地,图常量或图参数可以形式化为一个函数,还可从图推广到更广泛的值类,如整数、实数、数字序列或多项式,这些值对应的图其任何两个同构图都具有相同的值。[2]
对于图上定义的某些自然偏序关系或预序关系,许多图属性与其相关性较高:
这些定义可以从图属性扩展到图的数值常量:如果图常量形式化为对应到实数域的单调函数,则图常量是遗传的、单调的或小型闭合的。。
此外,还研究了图常量在图的不相交并集方面的行为:
定义图常量的函数其目标集可以是:
易于计算的图常量有助于快速识别同构图,或者说是识别非同构图。因为对于任何常量,具有不同值的两个图(根据定义)不能是同构的。然而,具有相同常量的两个图可能是同构的,也可能不是同构的。
如果常量I(G)和I(H)恒等,则意味着图G和图H的同构,此时称图常量I(G)是完备的。找到一个可有效计算这种常量的方法(图规范化问题)等价于给出一个简单解决富有挑战性的图同构问题的方法。然而,即使多项式的常量值如色多项式,通常也不完备的。例如,爪形图和4个顶点的道路图都具有相同的色多项式。
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