四角六片四角孔扭歪无限面体

在几何学中，四角六片四角孔扭歪无限面体（日语：四角六片四角孔ねじれ正多面体）^[1]是一种正扭歪无限面体，由考克斯特和皮特里于1926年时发现^[2][3]，并命名为多立方体（英语：Mucube）^[4]。其对偶多面体为六角四片四角孔扭歪无限面体^[5]。

此条目页的主题是一种正扭歪无限面体。关于多个立方体互相连结组成的多立方体，请见“多连立方体”。

四角六片四角孔扭歪无限面体

（单击查看旋转模型）
类别	正扭歪无限面体
对偶多面体	六角四片四角孔扭歪无限面体
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	muc
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{4,6|4}
性质
面	无限个正方形
边	无限
顶点	无限 6个正方形的公共顶点
组成与布局
顶点图	扭歪六边形 {3}#{ }
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	同于立方体堆砌
特性
扭歪、 点可递
图像
扭歪六边形 {3}#{ } （顶点图） 六角四片四角孔扭歪无限面体 （对偶多面体）
查 论 编

四角六片四角孔扭歪无限面体是一种扭歪正多面体，可以看做是立方体的空间填充形式——立方体堆砌少去部分正方形面的结果^[6]。

性质

四角六片四角孔扭歪无限面体由无限个正方形组成，每个顶点都是6个正方形的公共顶点，在顶点图中为一个扭歪六边形，此扭歪六边形可以视为正八面体的皮特里多边形，为下图中的黑线部分。

四角六片四角孔扭歪无限面体由无限个正方形组成，并且在中间形成正方形的孔洞，在施莱夫利符号中计为{4,6|4}，第一个4表示其由正方形构成，6表示每个顶点都是6个正方形的公共顶点，第二个4表示几何体中间有正方形的孔洞。其对偶多面体为六角四片四角孔扭歪无限面体，施莱夫利符号中计为{6,4|4}。

相关多面体与镶嵌

四角六片四角孔扭歪无限面体是三种正扭歪无限面体之一，另外两种为：

图像	四角六片四角孔扭歪无限面体	六角四片四角孔扭歪无限面体	六角六片三角孔扭歪无限面体
施莱夫利符号	{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}

四角六片四角孔扭歪无限面体在拓朴中相当于六阶正方形镶嵌（施莱夫利符号：{4,6}）的商空间，将四角六片四角孔扭歪无限面体中的结构进行拓朴变形可以构成一个六阶正方形镶嵌。

其他四角扭歪无限面体

有些扭歪无限面体也是由正方形组成的，例如四角六片五角孔扭歪无限面体。

四角六片五角孔扭歪无限面体

在几何学中，四角六片五角孔扭歪无限面体（日语：四角六片五角孔ねじれ正多面体）是一种位于双曲紧凑空间的正扭歪无限面体。其在施莱夫利符号中计为{4,6|5}，表示每个顶点都是6个正方形的公共顶点，并且具有正五边形的孔洞。

四角六片五角孔扭歪无限面体于1967年时由C. W. L. Garner发现^[7]，可看作是由截半五阶十二面体堆砌（Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb）移除所有正五边形面来构造。

四角六片五角孔扭歪无限面体的对偶多面体为六角四片五角孔扭歪无限面体，与其相同顶点布局的堆砌体为过截角五阶十二面体堆砌（Bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb）。

四角五片扭歪无限面体

在几何学中，四角五片扭歪无限面体（日语：四角五片ねじれ正多面体）是指具有每个顶点都是五个正方形的公共顶点的扭歪多面体^[3]，有两种形式，其具有的空间群在考克斯特记号（英语：Coxeter notation）中分别计为${\displaystyle \left[\left[4,3,4\right]\right]}$和${\displaystyle \left[\left[4,3^{+},4\right]\right]}$^[8][9]。

图像
顶点附近的面

有限的扭歪多面体

扭歪多面体是指面与顶点并不存在同一个三维空间而无法确定体积的多面体，除了扭歪无限面体是退化的情况外，有限面的扭歪多面体仅能存在于四维或以上的空间。

四维空间

在四维空间中，有部分由正方形组成的扭歪多面体，例如：四角六片三角孔扭歪正三十面体{4,6|3}

四角六片三角孔扭歪正三十面体

四角六片三角孔扭歪正三十面体

(施莱格尔投影)
类别	扭歪正多面体
数学表示法
施莱夫利符号	{4,6|3}
性质
面	30
边	60
顶点	20
欧拉特征数	F=30, E=60, V=20 （χ=-10）
组成与布局
顶点图	扭歪六边形 {3}#{ }
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	同于截半五胞体（英语：Runcinated 5-cell）
特性
扭歪, 点可递
图像
扭歪六边形 {3}#{ } （顶点图）
查 论 编

在几何学中，四角六片三角孔扭歪正三十面体（日语：四角六片三角孔ねじれ正三十面体）是一种位于四维空间的正扭歪多面体。其在施莱夫利符号中计为{4,6|3}，表示每个顶点都是6个正方形的公共顶点，并且具有正三角形的孔洞。

四角六片三角孔扭歪正三十面体由30个面、60条边和20个顶点组成，可以看做是截半五胞体（英语：Runcinated 5-cell）去除所有正三角形面的结果，因此与截半五胞体（英语：Runcinated 5-cell）共用相同的顶点布局。^[10] 四角六片三角孔扭歪正三十面体的对偶多面体为六角四片三角孔扭歪正二十面体，由20个正六边形组成。

性质

四角六片三角孔扭歪正三十面体由30个正方形组成，每个顶点都是6个正方形的公共顶点，在顶点图中可以用4⁶来表示，并且可以视为六阶正方形镶嵌的商空间。

体积与表面积

扭歪多面体不存在一个唯一的空间区域，就如同扭歪多边形（不共面多边形）无法找到一个唯一的多边形内部区域一样，因此四角六片三角孔扭歪正三十面体的体积不存在，但仍可以求表面积，其表面积为30个正方形面的面积，即32倍的边长平方。

结构

四角六片三角孔扭歪正三十面体	截半五胞体（英语：Runcinated 5-cell）
施莱格尔投影

四角六片三角孔扭歪正三十面体的结构为S5群，其对称群在考克斯特符号中可以用[[3,3,3]+]表示，且阶数为60，并且与截半五胞体（英语：Runcinated 5-cell）共用相同的顶点布局。

四角四片多角孔扭歪正多面体

四角四片n角孔扭歪正n²面体可以表示为四维柱体柱的正方形面，且具有正n边形的孔洞，且可以代表克里福德环（英语：clifford torus）。这种形状近似于圆柱体柱（英语：duocylinder）。

由正方形组成且每个顶点都是4个正方形的公共顶点的扭歪多面体是一个无穷集合，其孔洞可以是任意多边形，其可以从四维柱体柱构造。^[11]

名称	四角四片三角孔 扭歪正九面体	四角四片四角孔 扭歪正十六面体	四角四片五角孔 扭歪正二十五面体	四角四片六角孔 扭歪正三十六面体	四角四片n角孔 扭歪正n2面体
图像
面	9	16	25	36	n2
边	18	32	50	72	2n2
顶点	9	16	25	36	n2
欧拉特征数	0（亏格=1）	0（亏格=1）	0（亏格=1）	0（亏格=1）	0（亏格=1）
相同 顶点布局 的形状	三角三角柱体柱（英语：3-3 duoprism）	超立方体	五角五角柱体柱（英语：5-5 duoprism）	六角六角柱体柱（英语：6-6 duoprism）	n角n角柱体柱 （n-n duoprism）

参见

• 正多面体
• 正扭歪无限面体
• 空间填充的形状

参考文献

1. Petrie–Coxeter Maps Revisited（页面存档备份，存于互联网档案馆） PDF, Isabel Hubard, Egon Schulte, Asia Ivic Weiss, 2005
2. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5,
3. Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
4. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]（页面存档备份，存于互联网档案馆）
   • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
5. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)

1. 正多面体を解く. Tokai library. 东海大学出版会. 2002 [2018-09-02]. ISBN 9784486015871. （原始内容存档于2018-09-02）.
2. Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
3. いくろ こたろ. ねじれ多面体. geocities.jp. [2018-09-02]. （原始内容存档于2018-10-08）.
4. The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
5. kotetu. 準結晶とウイルスの意外な関係. eonet.ne.jp. 2017-03-31 [2018-09-02]. （原始内容存档于2017-08-13）.
6. 正多面体を解く2002 ^[1] 第6章　ねじれ正多面体：ねじれ多面体の具体的构成法
7. Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.
8. J. R. Gott, Pseudopolyhedrons, American Mathematical Monthly, Vol 74, p. 497-504, 1967.
9. The Symmetries of things, Pseudo-platonic polyhedra, p.340-344
10. Klitzing, Richard. Skew polytopes x4o6o|x3o. bendwavy.org.
11. Klitzing, Richard. Skew polytopes x4o4o|xRo. bendwavy.org.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Regular Skew Polyhedron. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Honeycombs and sponges. MathWorld.