四平方和定理 (英语:Lagrange's four-square theorem) 说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。
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根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理,可知只需证明质数可以表示成四个整数的平方和即可。
,因此只需证明奇质数可以表示成四个整数的平方和。
根据引理一,奇质数必有正倍数可以表示成四个整数的平方和。在这些倍数中,必存在一个最小的。设该数为。又从引理一可知。
设是偶数,且。由奇偶性可得知必有两个数或四个数的奇偶性相同。不失一般性设的奇偶性相同,的奇偶性相同,均为偶数,可得出公式:
,与是最小的正整数使得的假设可以表示成四个整数的平方和不符。
将和为的剩馀两个一组的分开,可得出组,分别为。
将模的二次剩馀有个,分别为。
若是模的二次剩馀,选取使得,则,定理得证。
若不属于模的二次剩馀,则剩下组,分别为,而模的二次剩馀仍有个,由于 ,根据抽屉原理,存在。