同构

同构（英语：Isomorphism）是一种线性变换，当T:V → W 是可逆时，这种线性变换就称之为同构。

5次单位根的群和五边形的对称群是同构的。

在抽象代数中，同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。

正式的表述是：同构是在数学对象之间定义的一类映射，它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的。一般来说，如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的，也就是说，如果我们定义一个关系∼ ，使得只要V和W同构，那么 V ∼ W ,可知 ∼ 是一个等价关系。

举例

• 等距同构是度量空间的同构
• 同胚是拓扑空间的同构
• 微分同胚是微分流形的同构
• 群同构
• 环同态
• 置换是集合的同构

对数和指数函数

对数${\displaystyle \log :R^{+}\to R}$

${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y)}$

指数函数

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

复数及其共轭函数

${\displaystyle \sigma :C\to C}$

${\displaystyle \sigma (z):x-iy}$

模算数

${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}}$

因为中国剩余定理，若m, n是互质的，则

${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}\cong \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}}$

引入同构的目的

在数学中研究同构的主要目的是为了把数学理论应用于不同的领域。如果两个结构是同构的，那么其上的对象会有相似的属性和操作，对某个结构成立的命题在另一个结构上也就成立。因此，如果在某个数学领域发现了一个对象结构同构于某个结构，且对于该结构已经证明了很多定理，那么这些定理马上就可以应用到该领域。如果某些数学方法可以用于该结构，那么这些方法也可以用于新领域的结构。这就使得理解和处理该对象结构变得容易，并往往可以让数学家对该领域有更深刻的理解。

相关条目

• 中国剩余定理
• 范畴论

参考资料

延伸阅读

• Mazur, Barry, When is one thing equal to some other thing? (PDF), 12 June 2007 [2019-04-01], （原始内容存档 (PDF)于2019-10-24）

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Isomorphism, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Isomorphism. PlanetMath.
• 埃里克·韦斯坦因. Isomorphism. MathWorld.