在特殊函数中,合流超几何函数(confluent hypergeometric function)定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形,相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞,因而得名。
根据所选择的参变量与宗量的不同,合流超几何函数有多种标准形式,常见的有:
- Kummer 函数(第一类合流超几何函数)M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数;
- Tricomi 函数(第二类合流超几何函数)U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一个线性无关的解,有时会写成 Ψ(a,b,z);
- 惠泰克函数 是惠泰克方程的解,惠泰克方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关[注 1];
Kummer 方程
根据广义超几何函数的性质,超几何函数 w(z)=1F1(a;b;z) 满足的微分方程为:
.
展开后就得到 Kummer 方程[1],
,
它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数:
![{\displaystyle M(a,b,z)=\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfa0c0e856b72029f70933f99c0adbae81a7689)
式中 (a)(n) 是升阶乘的 Pochhammer 记号。
Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形[1]:
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca8adeeef6d0c3340220a128834bed1374fefef)
高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为:
![{\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3da9a9e955d0e766eb7b4ec60431d6e12fbce8)
按照相同的极限过程,可知 Kummer 方程的另一个正则解为(这里的 b 等同于上式的 c):
![{\displaystyle z^{1-b}\,_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d7d98ea3764256072f8df6382ff4402b4a1aba)
但是,传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合[2]:
![{\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec5bc6a54f5a9e8066799e8bd3c987902462cc5)
它与另一个广义超几何函数有下列关系[3]:
![{\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39e6c5710fbd6d3c0b5a49285f5d46217ece24f)
但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛,需要通过另外的方式来定义(如积分表达式)。更常见的是下面的表述,它将 2F0 对应的超几何级数视为渐近级数。
![{\displaystyle U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<{\frac {3\pi }{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dff0339c0a1c87e71a8e4c5e9ee9e42adf69b1)
Kummer 函数是整函数,而 Tricomi 函数一般有奇点 0。
可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程
大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程
![{\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d78bdcdc0febb2531dece35c85bae161c186de)
先将 A+Bz 用一个新的 z 代换,就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式:
![{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5188dd0097cc3b8a48b71a5bcb29f14a14bc00e0)
这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D2-4F)-1/2z 代换,并将整个式子乘以相同的常数,得到:
![{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a40a800bdd22eb86d819d545d464de9c90fd3d)
它的解为,
![{\displaystyle w(z)=\exp[-(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {z}{2}}]f(z),\quad f(z)=k_{1}M(a,C,z)+k_{2}U(a,C,z),\quad a=(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {C}{2}}-{\tfrac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},k_{1},k_{2}\in \mathbb {C} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff11ef72b9153d5aab81459a0bfa95e429f4ef88)
李代数参数与惠泰克方程
Kummer 方程的李代数参数[注 1][3]定义为
![{\displaystyle \alpha =b-1,\theta =2a-b,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a6dc57c8a4a4eb5aa0127d541b193a75c5cd1a)
其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为
![{\displaystyle F_{\alpha ,\theta }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\theta }(z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fb042419288f34ff6d27ffaa550e847dcbce8a)
惠泰克方程的形式为:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153ff73116bcf12abc134386d7d315483b00700b)
它的两个线性无关的解为惠泰克函数,与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系[1]:
![{\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ea4b67e11557de94bdefa7a14522c94921ef0a)
![{\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5188afd52bab7e7bf6b8c8dac537cb4315eb9b9)
注意到
![{\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}F_{2\mu ,-2\kappa }(z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41e501ca8834aec9e1cff09ccf58fcfcdc43a54)
故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价,两者之间只差一个常数倍。
积分表示
合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到,高斯超几何函数的积分表示为:
![{\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\mathrm {d} t=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-{\tfrac {z}{bt}})^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c2202e1caa157aa921902c815c39105eb23e40)
式中的 Β 是beta函数。
两边取极限后就得到(第一类)合流超几何函数的积分表示[3]:
![{\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{1}F_{1}(a;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac {z}{t}}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e6a09f89fbcd307bd0a5bf6c757a9bdbd73226)
第二类合流超几何函数的积分表示为[3]:
![{\displaystyle \Gamma (a)U(a,b,z)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad \Re (a)>0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22e9e5d28aca5591e4f8ed4a9dc26fa1a147ebb)
变换公式
高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=(1-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {1}{b}}{\tfrac {bz}{z-b}}),\quad |\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6faecca9c65932b4d8ebd06dfce5f15c01a34471)
两边取极限得到(第一类)合流超几何函数的 Kummer 变换公式[2]:
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=e^{z}\,{}_{1}F_{1}(c-a;c;-z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171343049625da20d750ec6bdcf6ec8729d03c6f)
第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为[2]:
.
特殊情形
很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。
柱函数
第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为[1]:
![{\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {z^{\nu }}{2^{\nu }e^{z}\Gamma (\nu +1)}}M(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c2e31348c972e57b35fd7d2b36600a7639bf9a)
![{\displaystyle K_{\nu }(z)={\sqrt {\pi }}(2z)^{\nu }e^{-z}U(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2386b9dfcfbe7e933a356b6488cfaaf72fe8222c)
Γ, 误差函数
不完全伽玛函数可以表示为[1]:
![{\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c859ef42ade08f7c55e3886057eafcc7db918e2c)
![{\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fec14d53e582e7ad346c28f71b93daf7c88a2e)
误差函数可以表示为[1]:
![{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}M({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92b655eebb6f660546efe9c403bcfc3bef92279)
正交多项式及相关函数
拉盖尔函数可以表示为[1]:
![{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,z),\quad \alpha \notin \mathbb {Z} ^{-}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcde7b582c597f6206131dcf4b2f598ae8a63d73)
其中的二项式系数用贝塔函数来定义。
(物理学上的)厄米多项式可以表示为[1]:
![{\displaystyle H_{n}(z)=2^{n}U(-{\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}},z^{2}),\quad n\in \mathbb {Z} _{0}^{+},\Re (z)>0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f93370bfebf4699379418026c3189d42802d8328)
注
参考文献
Daalhuis, Adri B. Olde, 合流超几何函数, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113
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- Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. Higher transcendental functions. Vol. I. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. 1953. MR 0058756.
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- Slater, Lucy Joan. Confluent hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1960. MR 0107026.
- Tricomi, Francesco G. Sulle funzioni ipergeometriche confluenti. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta. 1947, 26: 141–175. ISSN 0003-4622. MR 0029451. doi:10.1007/bf02415375 (意大利语).
- Tricomi, Francesco G. Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche 1. Rome: Edizioni cremonese. 1954. ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936 (意大利语).
外部链接