假设,物理量是某量子系统的可观察量,其对应的量子算符,可能有很多不同的本征值与对应的本征态,这些本征态,形成了具有正交归一性的基底:[1]:96-99
- ;
其中,是克罗内克函数。
任何描述这量子系统的量子态,都可以用这基底的本征态表示为
- ;
其中,是复系数,是在量子态里找到量子态的机率幅。[2]:50
假设,量子态等于这些本征态之中的一个本征态,则对于这量子系统,测量可观察量,得到的结果必定等与本征值,机率为1,量子态是“确定态”。
假若两种可观察量的对易算符不等于0,则称这两种可观察量为“不相容可观察量”:[1]:110-112
- ;
其中,、分别是可观察量、的算符。
这两种算符与绝对不会有共同的基底。一般而言,的本征态与的本征态不同[注 1]假设量子系统的量子态为。对于算符,所有本征值为的本征态,形成一个基底。量子态可以表示为这组基底本征态的线性组合:
- ;
其中,是复系数,是在量子态里找到量子态的机率幅。[2]:50
对于算符,所有本征值为的本征态,形成了另外一个基底。量子态可以表示为这组基底本征态的线性组合:
- ;
其中,是复系数,是在量子态里找到量子态的机率幅。[2]:50
对于量子系统的可观察量做测量,可能得到的结果是各种本征态的本征值,获得这些不同结果的机会具有机率性,可以表达为机率分布,结果为的机率是。
假设测量的结果是本征值,则可以推断,在测量之后短暂片刻内,量子态是本征态。假若立刻再测量可观察量,由于量子态仍旧是本征态,所得到的测量值是本征值机率为1。假若立刻再对本征态测量可观察量,则会得到统计性的答案。假设测量的结果是本征值,则可以推断,在测量之后短暂片刻内,量子态是本征态。
根据不确定性原理,
- 。
设定。假设,与是两个不相容可观察量,则。而的不确定性与的不确定性的乘积,必定大于或等于。
为了具体计算位置与动量的期望值,可以将量子态表现于位置空间,以位置空间的波函数来表示,使用对应的代数算符。
Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 452–453, 1978, ISBN 9780748740789 (英语)