在物理学里,作用量(英语:action)是一个很特别、很抽象的物理量。它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。虽然与微分方程式方法大不相同,作用量也可以被用来分析物理系统的运动,所得到的答案是相同的。只需要设定系统在两个点的状态,初始状态与最终状态,然后,经过求解作用量的平稳值,就可以得到系统在两个点之间每个点的状态。
皮埃尔·德·费马于1662年发表了费马原理。这原理阐明:光传播的正确路径,所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性,现今,一个物理系统的运动拥有了展望与目标。
戈特弗里德·莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论:光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径;更精确地说,阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题,如果要符合实验的结果,玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍;但是,玻璃的密度大于空气,应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散;因此,光被约束在一个很窄的路径内。假若,河道变窄,水的流速会增加;同样地,光的路径变窄,所以光的速度变快了。
1744年,皮埃尔·莫佩尔蒂在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中,发表了最小作用量原理:光选择的传播路径,作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理,他证明了费马原理:光传播的正确路径,所需的时间是极值;他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年,莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中,应用这原理于碰撞,正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞;这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。
莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ;其中,他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律,而这物理量是
。应用这理论,欧拉成功的计算出,当粒子受到连心力作用时,正确的抛射体运动。
在此以后,许多物理学家,包括约瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密顿、理查德·费曼等等,对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。
微分方程式时常被用来表述物理定律。微分方程式指定出,随著极小的时间、位置、或其他变数的变化,一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变,再加上这物理变数在某些点的已知数值或已知导数值,就能求得物理变数在任何点的数值。
作用量方法是一种全然不同的方法,它能够描述物理系统的运动,而且只需要设定物理变数在两点的数值,称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算,可以得到,此变数在这两点之间任何点的数值。而且,作用量方法与微分方程式方法所得到的答案完全相同。
哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价:描述物理系统运动的微分方程式,也可以用一个等价的积分方程式来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或重力场,这描述都是正确的。更加地,哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。
用变分法数学语言来描述,求解一个物理系统作用量的平稳值(通常是最小值),可以得到这系统随时间的演化(就是说,系统怎样从一个状态演化到另外一个状态)。更广义地,系统的正确演化对于任何微扰必须是平稳的。这要求导致出描述正确演化的微分方程式。
在经典物理里,作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。
最常见的作用量是一个泛函
,输入是参数为时间与空间的函数,输出是一个纯量。在经典力学里,输入函数是物理系统在两个时间点
,
之间广义座标
的演变。
作用量
定义为,在两个时间点之间,系统的拉格朗日量
对于时间的积分:
。
根据哈密顿原理,正确的演化
要求平稳的作用量
(最小值、最大值、鞍值)。经过运算,结果就是拉格朗日方程式。
- 主条目:哈密顿主函数。
哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程式定义的。哈密顿-雅可比方程式是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数
与泛涵
有密切的关系。固定住初始时间
和其对应的座标点
;而准许时间上限
和其对应的座标点
的改变。取
和
为函数
的参数。换句话说,作用量函数
是拉格朗日量对于时间的不定积分:
。
更加地,可以证明
是某常数向量
。所以,
。
- 主条目:哈密顿特征函数。
假若,哈密顿量
是守恒的;
;
其中,
是常数。
设定哈密顿特征函数
为
。
则哈密顿特征函数
是一个作用量。
更加地,
。
对于时间积分:
。
这正是简略作用量的方程式。
- 主条目:哈密顿-雅可比方程式。
哈密顿-雅可比方程式是经典力学的一种表述。假若,哈密顿-雅可比方程式是完全可分的;则哈密顿主函数
分出的每一个项目
也称为"作用量"。
- 主条目:作用量-角度座标。思考一个作用量-角度座标的广义动量变数
,定义为在相空间内,关于转动运动或振荡运动,广义动量的闭路径积分:
。
这变数
称为广义座标
的作用量;相应的正则座标是角度
。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分向量;这里,只有一个纯量变数
被用来积分。作用量
等于,随著
沿著闭路径,
的改变。应用于几个有趣的物理系统,
或者是常数,或者改变非常地慢。因此,
时常应用于微扰理论与缓渐不变量的研究。
哈密顿原理阐明,如果一个物理系统在两个时间点
、
的运动是正确运动,则作用量泛函
的一次变分
为零。用数学方程式表示,定义作用量为
。
其中,
是系统的拉格朗日函数,广义座标
是时间的函数。
假若,
是系统的正确运动,则
。
从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程式.假设
是系统的正确运动,让
成为一个微扰
;微扰在轨道两个端点的值是零:
。
取至
的一阶微扰,作用量泛函的一次变分为
。
这里,将拉格朗日量
展开至
的一阶微扰。
应用分部积分法于最右边项目,
。
边界条件
使第一个项目归零。所以,
。
要求作用量泛函
平稳。这意味著,对于正确运动的任意微扰
,一次变分
必须等于零:
。
请注意,还没有对广义座标
做任何要求。现在,要求所有的广义座标都互相无关(完整限制)。这样,根据变分法基本引理,可以得到拉格朗日方程式:
。
在各个物理学领域,拉格朗日方程式都被认为是非常重要的方程式,能够用来精确地理论分析许多物理系统。
对应于广义座标
的广义动量
,又称为共轭动量,定义为
。
假设
不显性地跟广义座标
有关,
,
则广义动量
是常数。在此种状况,座标
称为循环座标。举例而言,如果用极座标系
来描述一个粒子的平面运动,而
与
无关,则广义动量是守恒的角动量。
- Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",(Dover Publications, New York, 1986), ISBN 0-486-65067-7.这领域最常引用的参考书。
- 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,(Butterworth-Heinenann, 1976), ISBN 0-7506-2896-0.这本书一开始就讲解最小作用量原理。
- Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,(Addison Wesley, 1980), pp. 35-69。
- Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,(Simon & Schuster Macmillan, 1996), ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, pages 840–842。
- Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",(Dover Publications, 1974), ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早书。
- Dugas, René, "A History of Mechanics",(Dover, 1988), ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。