进位制

进位制^[1]（carry system）又称进制^[2][3]、进位系统^[4]，是一种记数制度、系统或方法；利用这种“记数法”，可以使用有限种的“数字符号”来表示所有的数值。进位（carry）则是传送进位数之动作或过程^[5]。

进位制，“进”表示在一个位值的数字达到基数后，将其重置为零并使高一位（位值）的数字加一。“位”代表位值（place value）。

进位制的其他名称：位置记法^[6]（positional notation）、数字命位法^[7]、定位记法、进位记数法、位值记数法（place-value notation）、位置数值系统（positional numeral system）。

一种进位制中可以使用的数字符号的数目，称为这种进位制的基数或底数。若一个进位制的基数为 ${\displaystyle n}$，即可称之为 ${\displaystyle n}$进位制，简称 ${\displaystyle n}$进制。现在最常用的进位制是十进制，这种进位制通常使用10个阿拉伯数字（即 0-9 ）进行记数。^[8]

我们可以用不同的进位制来表示同一个数。比如：十进数57₍₁₀₎，可以用二进制表示为111001₍₂₎，也可以用五进制表示为212₍₅₎，同时也可以用八进制表示为71₍₈₎，可用十二进制表示为49₍₁₂₎，亦可用十六进制表示为39₍₁₆₎，它们所代表的数值都是一样的。

在10进制中有10个数字（0 - 9），比如：

${\displaystyle 2506=2\times 10^{3}+5\times 10^{2}+0\times 10^{1}+6\times 10^{0}}$.

在16进制中有16个数字（0–9 和 A–F），比如：

${\displaystyle 171B=1\times 16^{3}+7\times 16^{2}+1\times 16^{1}+B\times 16^{0}}$ (16进制中A代表10,B代表11,C代表12,D代表13,E代表14,F代表15）

一般说来，${\displaystyle b}$进制有${\displaystyle b}$个数字，如果${\displaystyle a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}}$是其中四个数字，那么就有

${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}=a_{3}\times b^{3}+a_{2}\times b^{2}+a_{1}\times b^{1}+a_{0}\times b^{0}}$ (注意，${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$ 表示一个数字序列, 而不是数字的相乘)

常见进位制及其用途

底/基数	名称	描述
10	十进制	世界上最常见的算术运算位进制系统，它是2和5的乘积，用于大多数机械计数器。其十位数字为 “0-9”。
12	十二进制	因为有多个因数如2，3，4和6的易于整除性，它传统上用以表示数量和总数，如一打即为十二个单位。十二位数字为“0-9”，接著是“A”和“B”。
20	二十进制	因为有多个因数如2，4，5和10的易于整除性，在几种传统文化中的数字系统，仍然被用于计数。二十位数字为“0-9”，接著是“A-J”。
2	二进制	几乎所有的电子计算机内部都使用二进位制，分别为“0”和“1”表示“关”和“开”。用于大多数电子计数器。
16	十六进制	经常用于计算机领域，2到4次幂。十六位数字为“0-9”，接著是“A-F”。
8	八进制	偶尔用于计算机领域，2到3次幂。八位数字为“0-7”。
60	六十进制	起源于古代苏美尔并传给巴比伦人。六十成为3,4和5的乘积。今天用作现代圆形坐标系（度，分，秒）和时间测量（小时，分钟和秒）的基础。

八进位制和十六进位制系统通常用于计算机领域，因为它们可方便当作二进位制的简写。十六进位制数字对应于四位二进位制数字的序列，因为十六是二的四次方; 例如，十六进位制 78₁₆ 是二进制 1111000₂。八进位制数和二进位制的数字序列之间也有类似关系，因为八是二的立方。底数通常是自然数。 然而，其它位进制系统也是可能的。黄金比率底数（其底为非整数代 数）和负底数（其底为负数）。

参考文献

1. 十進位制. 乐词网. 国家教育研究院. （繁体中文）
2. 二進制. 乐词网. 国家教育研究院. （繁体中文）
3. 二进制. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）
4. 進位系統. 乐词网. 国家教育研究院. （繁体中文）
5. 進位. 乐词网. 国家教育研究院. （繁体中文）
6. 位置记法位. 乐词网. 国家教育研究院. （繁体中文）
7. 數字命位法. 乐词网. 国家教育研究院. （繁体中文）
8. 张彦;梁清华. 浅谈进位制. 《中学数学杂志》2008年第12期. [2012-12-29]. （原始内容存档于2014-07-14）.

• O'Connor, John; Robertson, Edmund. Babylonian Numerals. December 2000 [21 August 2010]. （原始内容存档于2014-09-11）.
• Kadvany, John. Positional Value and Linguistic Recursion. Journal of Indian Philosophy. December 2007.
• Knuth, Donald. The art of Computer Programming 2. Addison-Wesley. 1997: 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
• Ifrah, George. The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. 2000. ISBN 0-471-37568-3.
• Kroeber, Alfred. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. 1976: 176 [1925] [2014-07-17]. ISBN 9780486233680. （原始内容存档于2016-05-05）.

参见

外部链接

• 进位转换器（网页版） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Accurate Base Conversion
• The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetics
• Implementation of Base Conversion （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Learn to count other bases on your fingers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• From one to another number system （页面存档备份，存于互联网档案馆）