交集

在集合论和数学中，两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集（Intersection）是含有所有既属于${\displaystyle A}$又属于${\displaystyle B}$的元素，而没有其他元素的集合。

有限交集

A和${\displaystyle B}$的交集

交集是由公理化集合论的分类公理来确保其唯一存在的特定集合 ${\displaystyle A\cap B}$ ：

${\displaystyle (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cap B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\wedge (x\in B)\right]\right\}}$

也就是直观上：

${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集写作“${\displaystyle A\cap B}$”，“对所有 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle x\in A\cap B}$ 等价于 ${\displaystyle x\in A}$ 且 ${\displaystyle x\in B}$”

例如：集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$和${\displaystyle \{2,3,4\}}$的交集为${\displaystyle \{2,3\}}$。数字${\displaystyle 9}$不属于素数集合${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}}$和奇数集合${\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}}$的交集。

若两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$。例如集合${\displaystyle \{1,2\}}$和${\displaystyle \{3,4\}}$不相交，写作${\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing }$。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合${\displaystyle A,B}$，${\displaystyle C}$和${\displaystyle D}$的交集为${\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))}$。交集运算满足结合律。即：

${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}$

任意交集

以上定义可根据无限并集和补集来推广到任意集合的交集。

取一个集合 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ，则根据分类公理可以取以下唯一存在的集合：

${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}:=\left\{A\,|\,(\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})\right\}}$。

也就是直观上搜集所有 ${\displaystyle M^{c}}$ 的集合， 这样的话有：

${\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists A)[(x\in A)\wedge (\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})]}$

根据一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：

${\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M)[(M\in {\mathcal {M}})\wedge (x\notin M)\wedge (\exists A)(A=M^{c})]}$

但根据一阶逻辑的等式相关定理，下式：

${\displaystyle (\exists A)(A=M^{c})}$

显然是个定理（也就是直观上为真），故：

${\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M\in {\mathcal {M}})(x\notin M)}$

换句话说：

${\displaystyle x\in {\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}\Leftrightarrow (\forall M\in {\mathcal {M}})(x\in M)}$

那可以做如下的符号定义：

${\displaystyle \bigcap {\mathcal {M}}:={\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}}$

称为 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 的任意交集或无限交集。也就是直观上“对所有 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {M}}}$ 等价于对任何 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 的下属集合 ${\displaystyle M}$ ，都有 ${\displaystyle x\in M}$”

例如：

${\displaystyle A\cap B=\bigcap \{A,\,B\}}$

类似于无限并集，无限交集的表示符号也有多种

可模仿求和符号记为

${\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {M}}}A}$。

但大多数人会假设指标集 ${\displaystyle I}$ 的存在，换句话说

若 ${\displaystyle I\,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}}$ 则 ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}$

在指标集 ${\displaystyle I}$ 是自然数系 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的情况下，更可以仿无穷级数来表示，也就是说：

若 ${\displaystyle \mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}}$ 则 ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}$

也可以更粗略直观的将 ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)}$ 写作${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots }$。

参见

• 朴素集合论
• 并集
• 补集
• 对称差