乘积累加运算

乘积累加运算（英语：Multiply Accumulate, MAC）是在数字信号处理器或一些微处理器中的特殊运算。实作此运算操作的硬体电路单元，被称为“乘数累加器”。这种运算的操作，是将乘法的乘积结果和累加器 A 的值相加，再存入累加器：

${\displaystyle a\leftarrow a+b\times c}$

若没有使用 MAC 指令，上述的程序可能需要二个指令，但 MAC 指令可以使用一个指令完成。而许多运算（例如卷积运算、点积运算、矩阵运算、数字滤波器运算、乃至多项式的求值运算）都可以分解为数个 MAC 指令，因此可以提高上述运算的效率。

MAC指令的输入及输出的数据类型可以是整数、定点数或是浮点数。若处理浮点数时，会有两次的数值修约（Rounding），这在很多典型的DSP上很常见。若一条MAC指令在处理浮点数时只有一次的数值修约，则这种指令称为“融合乘加运算”/“积和熔加运算”（fused multiply-add, FMA）或“熔合乘法累积运算”（fused multiply–accumulate, FMAC）。

积和熔加运算

融合乘加运算的操作和乘积累加的基本一样，对于浮点数的操作也是一条指令完成。但不同的是，非融合乘加的乘积累加运算，处理浮点数时，会先完成b×c的乘积，将其结果数值修约到N个位元，然后才将修约后的结果与暂存器a的数值相加，再把结果修约到N个位元；融合乘加则是先完成a+b×c的操作，获得最终的完整结果后方才修约到N个位元。由于减少了数值修约次数，这种操作可以提高运算结果的精度，以及提高运算效率和速率。

积和融加运算可以显著提升像是这些运算的性能和精度：

• 点积
• 矩阵乘法
• 多项式方程求解（像是秦九韶算法等）
• 牛顿法求解函數的零点

通常依靠积和融加运算来取得更精确的运算结果。然而，Kahan指出，如果不加思索地使用这种运算操作，在某些情况下可能会带来问题。^[1]像是平方差公式x² − y²，它等价于 ((x×x) − y×y)，若果x与y已知数值，使用积和融加运算来求结果，哪怕x = y时，因为在进行首次乘法操作时无视低位的有效位元，可能会使运算结果出错，如果是多步运算，第一步就出错则会连累后续的运算结果接连出错，比如前述的平方差求值后，再取结果的平方根，那么这个结果也会出错。

参考资料

1. W.Kahan. IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic. May 31, 1996 [2016-05-15]. （原始内容存档于2016-03-09）.

参见

• 熔合乘法累积指令集
• BLAS