中山引理

在交换代数中，中山引理是相当有用的一个技术工具。

陈述

它的众多等价陈述之一如下：

引理（中山正）。设${\displaystyle R}$为含单位元的交换环，${\displaystyle I}$为一理想，${\displaystyle M}$为有限生成${\displaystyle R}$-模。若${\displaystyle IM=M}$，则存在${\displaystyle r\in R}$满足${\displaystyle r\equiv 1{\pmod {I}}}$且${\displaystyle rM=0}$。

推论

推论一。在上述条件下，若${\displaystyle I}$包含于${\displaystyle R}$的Jacobson根，则必然有${\displaystyle M=0}$。

推论二. 若${\displaystyle N}$是${\displaystyle M}$的子模，且存在有限生成的${\displaystyle M}$的子模${\displaystyle N'}$及包含于${\displaystyle R}$的Jacobson根的理想${\displaystyle I}$，使得${\displaystyle M=N+IN'}$，则${\displaystyle M=N}$。

文献

• Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G（1969）. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.
• Matsumura H., Commutative Algebra, 2nd ed. Benjamin/Cummings, 1980.