沃德-高桥恒等式

在量子场论中，沃德-高桥恒等式是一个借由理论的全域或规范对称性来联系不同关联方程（英语：Correlation function (quantum field theory)）的恒等式，其不受重整化影响。

沃德-高桥恒等式一开始是由约翰·克莱夫·沃德（英语：John Clive Ward）^[1]和高桥康（英语：Yasushi Takahashi）^[2]提出，在量子电动力学中用以连结电子的波函数重整化（英语：Wave function renormalization）和节点重整化（英语：Vertex function），这保证了在摄动理论的任意阶下两者产生的紫外发散（英语：Ultraviolet divergence）皆会对消。之后也被延伸用于证明在摄动理论中任意阶下的戈德斯通定理。

广义来说，沃德-高桥恒等式是量子化版本的诺特定理，将守恒流与连续性对称作联系。在量子场论中这样的对称性几乎都会产生广义的沃德-高桥恒等式，其在量子层级下要求物理量的对称性。在阅读如麦可·佩斯金（英语：Michael Peskin）和丹尼尔·施罗德撰写的课本^[3]时，此广义版本应与原始的沃德-高桥恒等式作区分。

以下的讨论将使用量子电动力学作例子考虑一阿贝尔理论中的沃德-高桥恒等式。在非阿贝尔理论中，如量子色动力学，对应的恒等式被称作斯拉夫诺夫-泰勒恒等式（英语：Slavnov–Taylor identities）。

沃德-高桥恒等式

沃德-高桥恒等式应用于动量空间中的关联方程，其中并无要求全部的外部动量要在壳。令

${\displaystyle {\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})}$

为一量子电动力学中的关联方程（使用爱因斯坦求和约定）。其中包含一带有动量 ${\displaystyle k}$、极化矢量（英语：Photon polarization） ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ 的外部光子、 ${\displaystyle n}$ 个动量为 ${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}}$ 的初始态电子、和 ${\displaystyle n}$ 个动量为 ${\displaystyle q_{1}\cdots q_{n}}$ 的末态电子。另外定义 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ 为移除该光子后的关联方程，则沃德-高桥恒等式给出

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\right.}$

${\displaystyle \left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]}$

其中 ${\displaystyle e}$ 代表基本电荷（带负号）。可发现当 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 中每个外部电子皆在壳时，恒等式的右手边中各项皆会有一外部电子离壳，因此不会对散射矩阵产生贡献。

沃德恒等式

沃德恒等式是沃德-高桥恒等式在讨论散射矩阵时的特殊形式。其描述物理上可能的散射过程，因此所有外部粒子皆在壳。再次令 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)}$ 为某个量子电动力学过程的概率幅，其中含有一带动量 ${\displaystyle k}$、极化矢量 ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ 的外部光子。则沃德恒等式给出

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0}$

物理上，此恒等式代表 ξ 规范（英语：ξ gauge）中纵向的极化矢量是不符合物理的，不应存在于散射矩阵中。

此恒等式可应用在限制量子电动力学中真空极化和电子节点方程（英语：Vertex function）的张量结构。

推导

参见：路径积分表述

在路径积分表述中，沃德-高桥恒等式源自测度泛函规范变换下的不变性。精确来说，若考虑某规范变换 ${\displaystyle \varepsilon }$ 产生的影响 ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$ （此处仅要求测度泛函在转换下维持不变）, 则

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\int \left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =\int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

其中 ${\displaystyle S}$ 是作用量、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是由场 ${\displaystyle \phi }$ 组成的泛函。若该规范变换对应到一全域对称性，则在忽略边界项后会有一守恒流 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\varepsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \varepsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x}$

因此，沃德-高桥恒等式变为

${\displaystyle \langle \delta _{\varepsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \varepsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0}$

此为诺特定理 ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$ 在量子场论下的版本。

参考资料

1. Ward, John Clive. An Identity in Quantum Electrodynamics. Physical Review. 1950, 78 (2): 182. Bibcode:1950PhRv...78..182W. doi:10.1103/PhysRev.78.182.
2. Takahashi, Yasushi. On the generalized ward identity. Il Nuovo Cimento. 1957, 6 (2): 371–375. Bibcode:1957NCim....6..371T. doi:10.1007/BF02832514.
3. Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. 1995. Section 7.4 ("The Ward-Takahashi identity"). ISBN 978-0-201-50397-5.