世界面

在弦理论中，世界面（worldsheet）是描述弦在时空中嵌入情况的2维流形。^[1] 这个术语是1967年左右伦纳德·萨斯坎德^[2]

创造出来的，是对狭义和广义相对论中点粒子的世界线概念的直接推广。

弦的类型，与它所传播的时空的几何形状以及远距离背景场论（如规范场论）的存在，都可以被编码成世界面上定义的二维共形场论。例如，26维闵可夫斯基空间中的玻色子弦由26个自由标量玻色子组成的世界面共形场理论。同时，10维超弦世界面理论由10个自由标量场及其费米超对称粒子组成。

数学表述

玻色弦

我们从玻色弦的经典表述开始。

首先固定一个d维平坦时空（d维闵可夫斯基时空）M，作为弦的环绕空间。

世界面${\displaystyle \Sigma }$是嵌入曲面，即嵌入的2维流形${\displaystyle \Sigma \hookrightarrow M}$，使诱导度量处处有符号${\displaystyle (-,+)}$。因此，可局部定义坐标${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$，其中${\displaystyle \tau }$是类时间坐标，${\displaystyle \sigma }$是类空间坐标。

弦分开闭。开弦世界面的拓扑是${\displaystyle \mathbb {R} \times I}$，其中${\displaystyle I:=[0,1]}$是闭区间，允许全局坐标图${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$，其中${\displaystyle -\infty <\tau <\infty ,\ 0\leq \sigma \leq 1}$。

闭弦世界面的拓扑^[3]是${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}}$，允许“坐标”${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$，且${\displaystyle -\infty <\tau <\infty ,\ \sigma \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$。即，${\displaystyle \sigma }$是周期坐标，标识为${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$。冗余描述（使用商）可通过选择代表性的${\displaystyle 0\leq \sigma <2\pi }$来去除。

世界面度量

世界面为定义泊里雅科夫作用量，配备了世界面度量^[4]${\displaystyle \mathbf {g} }$，亦有符号${\displaystyle (-,+)}$，但与诱导度量无关。

由于外尔变换被认为是度量结构的冗余，也可认为世界面配备了度量${\displaystyle [\mathbf {g} ]}$的共形类。则${\displaystyle (\Sigma ,[\mathbf {g} ])}$定义了共形流形的数据，带有符号${\displaystyle (-,+)}$。

参考

• 世界线

参考文献

1. Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pierre; Sénéchal, David. Conformal Field Theory. 1997: 8. ISBN 978-1-4612-2256-9. doi:10.1007/978-1-4612-2256-9.
2. Susskind, Leonard. Dual-symmetric theory of hadrons, I.. Nuovo Cimento A. 1970, 69 (1): 457–496.
3. Tong, David. Lectures on String Theory. Lectures on Theoretical Physics. [August 14, 2022]. （原始内容存档于2024-05-15）.
4. Polchinski, Joseph. String Theory, Volume 1: Introduction to the Bosonic string. 1998.