e进位

e进制是以自然对数的底数——e作为进位制底数的进制。类似于三进制，通常使用0、1、2三个数字来表达，但由于除了0、1和2之外大部分的整数在e进制中皆需要用无穷小数来表示，因此不是一个实用的进位制，但在底数经济度模型中，e进制被认为是最高效率的进位制^[1][2]。

性质

在e进制中，自然对数的行为与十进制中的常用对数类似^[3]，例如：

${\displaystyle \ln 1_{\left(e\right)}=0}$

${\displaystyle \ln 10_{\left(e\right)}=1}$

${\displaystyle \ln 100_{\left(e\right)}=2}$

${\displaystyle \ln 1000_{\left(e\right)}=3}$

e进制效率

在底数经济度模型中，e进制被认为是最高效率的进位制。

当一个数用${\displaystyle x}$进位（${\displaystyle x>0,x\in \mathbb {R} }$）表达时，每个位数需要${\displaystyle x}$种符号表达，若要表达一个n位数字要储存的元素${\displaystyle N(x)}$ ：

${\displaystyle N(x)=nx}$

而${\displaystyle x}$进制系统中表示的n位数的信息量${\displaystyle I}$（${\displaystyle I>x}$）则有：

${\displaystyle I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}}$

因此，在${\displaystyle x}$进制系统中以n位数能表示I的信息量所需的存储元素数${\displaystyle N(x)}$为：

${\displaystyle N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}}$

在

${\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}}$

之下，求出哪个${\displaystyle x}$能使${\displaystyle N(x)}$最小即可， 即找到能使${\displaystyle N(x)}$微分为0的${\displaystyle x}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

在${\displaystyle \ln x=1}$时${\displaystyle N^{\prime }(x)}$有根${\displaystyle N^{\prime }(x)=0}$，

解得${\displaystyle x=e}$

因此解得以${\displaystyle e}$为底的进位制理论上能有最高的表达效率。

与其他进制比较

e进制中，除了0、1和2之外，其他整数皆需要以无穷不循环小数来表达，其中整数部分可透过贪婪算法找出^[4]。

部分的e进制数^[5]

十进制	二进制	e进制	三进制
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10.0200 1120 0001 0101	10
4	100	11.0200 1120 0001 0101	11
5	101	12.0200 1120 0001 0101	12
6	110	20.1110 1110 2102 0120	20
7	111	21.1110 1110 2102 0120	21
8	1000	100.1120 1011 1100 0100	22
9	1001	101.1120 1011 1100 0100	100
10	1010	102.1120 1011 1100 0100	101
11	1011	110.2101 0102 0201 2102	102
12	1100	111.2101 0102 0201 2102	110

无理数的e进制表示

常见无理数的e进制表示如下：

• ${\displaystyle \color {blue}\pi }$ ≈ 10.101002020002111120020101 …_(e) （OEIS数列A050948）
• ${\displaystyle \color {blue}e}$ = 10_(e)（在此记数系统为整数）
• ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ ≈ 1.100211011011121120001121 …_(e)
• ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ = ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ≈ 1.112020121110010020000201 …_(e) （OEIS数列A105166）

参见

• e (数学常数)
• 广义的进位制
• 三进制

参考文献

1. 伊东规之‘マイクロコンピュータの基础’日本理工出版会
2. 桜井进‘超・超面白くて眠れなくなる数学’PHP研究所

1. 田崎三郎. 『三』 の研究. 松山大学论集. 2011, 23 (3): 5––34.
2. Hayes, Brian, Third base, American Scientist, 2001, 89 (6): 490–494 [2019-06-17], doi:10.1511/2001.40.3268, （原始内容存档于2016-03-24）
3. Weird Number Bases. DataGenetics. [2018-02-01]. （原始内容存档于2018-02-03）.
4. Bryan Jacobs, Sloane, N.J.A. (编). Sequence A105116 (The part of n left of the decimal point when written in base e). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
5. Kak, Subhash. The base-e representation of numbers and the power law (PDF). Circuits, Systems, and Signal Processing (Springer). 2021, 40 (1): 490–500 [2022-11-03]. （原始内容存档 (PDF)于2022-11-03）.