龙格-库塔法

数值分析中，龙格-库塔法（英文：Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

四阶龙格-库塔法

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时，利用计算机的仿真应用，省去求解微分方程的复杂过程。

令初值问题表述如下。

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}}$

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})}$

其中

${\displaystyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)}$

${\displaystyle k_{2}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)}$

${\displaystyle k_{3}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)}$

${\displaystyle k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)}$

这样，下一个值（y_n+1）由现在的值（y_n）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

• k₁是时间段开始时的斜率；
• k₂是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k₁来决定y在点t_n + h/2的值；
• k₃也是中点的斜率，但是这次采用斜率k₂决定y值；
• k₄是时间段终点的斜率，其y值用k₃决定。

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

${\displaystyle {\mbox{slope}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.}$

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h⁵阶，而总积累误差为h⁴阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。

显式龙格-库塔法

显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

其中

${\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n}),\,}$

${\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),\,}$

${\displaystyle k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}hk_{1}+a_{32}hk_{2}),\,}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).}$

（注意：上述方程在不同著述中有不同但等价的定义）。

要给定一个特定的方法，必须提供整数s（级数），以及系数 a_ij（对于1 ≤ j < i ≤ s）, b_i（对于i = 1, 2, ..., s）和c_i（对于i = 2, 3, ..., s）。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为Butcher tableau（得名自约翰·C·布彻（英语：John C. Butcher））：

	0
	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle a_{21}}$
	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{31}}$	${\displaystyle a_{32}}$
	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
	${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s1}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
		${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$

龙格－库塔法是自洽的，如果

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {for} \ i=2,\ldots ,s.}$

如果要求方法的精度为p阶，即截断误差为O(h^p+1)的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求b₁ + b₂ = 1, b₂c₂ = 1/2, 以及b₂a₂₁ = 1/2。

例子

RK4法处于这个框架之内。其表为：

	0
	1/2	1/2
	1/2	0	1/2
	1	0	0	1
		1/6	1/3	1/3	1/6

然而，最简单的龙格－库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式为${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}$。这是唯一自洽的一级显式龙格－库塔法。相应的表为：

	0
		1

隐式龙格-库塔法

以上提及的显式龙格－库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格－库塔法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格－库塔法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格－库塔法，一般而言，隐式龙格－库塔法具有以下形式：

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

其中

${\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}$

在显式龙格－库塔法的框架里，定义参数${\displaystyle a_{ij}}$的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格－库塔法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别：

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}$

需要注意的是，与显式龙格－库塔法不同，隐式龙格－库塔法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加了计算的成本。

参考

• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)