由上下取整函数的定义,可见
等号当且仅当为整数,即
实际上,上取整与下取整函数作用于整数,效果等同恒等函数:
自变量加负号,相当于将上取整与下取整互换,外面再加负号,即:
且:
至于小数部分,自变量取相反数会使小数部分变成关于1的“补码”:
上取整、下取整、小数部分皆为幂等函数,即函数迭代两次的结果等于自身:
而多个上取整与下取整依次迭代的效果,相当于最内层一个:
因为外层取整函数实际只作用在整数上,不带来变化。
若和为正整数,且,则
若为正整数,则
若为正数,则
代,上式推出:
更一般地,对正整数,有埃尔米特恒等式:[5]
对于正整数,以下两式可将上下取整函数互相转化:
对任意正整数和,有:
作为特例,当和互素时,上式简化为
此等式可以几何方式证明。又由于右式关于、对称,可得
更一般地,对正整数,有
上式算是一种“互反律”(reciprocity law),与§ 二次互反律有关。
下取整函数出现于若干刻画素数的公式之中。举例,因为在整除时等于,否则为,所以正整数为素数当且仅当[11]
除表示素数的条件外,还可以写出公式使其取值为素数。例如,记第个素数为,任选一个整数,然后定义实数为
则只用取整、幂、四则运算可以写出素数公式:
类似还有米尔斯常数,使
皆为素数。[13]
若不迭代三次方函数,改为迭代以为㡳的指数函数,亦有使
皆为素数。[13]
以素数计算函数表示小于或等于的素数个数。由威尔逊定理,可知
又或者,当时:[15]
本小节的公式未有任何实际用途。[16][17]
- 如果x为整数,则
- 否则