朗德g因子

在物理学和化学中，朗德${\displaystyle g}$因子是阿尔弗雷德·朗德试图解释反常塞曼效应时，于1921年提出的一个无量纲物理量^[1][2][3][4]，反映了塞曼效应中磁矩与角动量之间的联系。其定义后来被推广到其它领域，在粒子物理学中常常被简称为${\displaystyle g}$因子。

塞曼效应

塞曼效应中的朗德${\displaystyle g}$因子由下式给出^[5]

${\displaystyle g_{J}=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}}$

式中${\displaystyle L,S,J}$分别是原子能态（光谱支项）的角量子数、自旋量子数和内量子数。

导引

朗德假定^[6]，当两个角动量${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$与${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$耦合时，它们的相互作用能由下式给出：

${\displaystyle E_{\text{interaction}}=\Gamma (\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ),\quad \Gamma \,{\text{ constant}}}$

令

${\displaystyle \mathbf {J} \hbar =\mathbf {L} \hbar +\mathbf {S} \hbar }$

为耦合后的总角动量，则可以证明^[6]，在上述形式的相互作用能下，${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$与${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$将绕矢量${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$进动。

在外加磁场的作用下，带电粒子的角动量会绕外加磁场的方向进动。在这种情况下，是${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$进行进动。朗德采用了一种简化处理的方法，即认为外磁场中的原子的能量仅仅与矢量${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$与${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$的长时间平均值有关，而后者恰好就是它们在${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$方向上的投影，即^[6]

${\displaystyle (\mathbf {L} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}},\quad (\mathbf {S} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}}$

随后，朗德进一步假定，角动量${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$贡献的磁能（英语：magnetic energy）由经典的公式给出，并假定${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$是量子化的，其沿着磁场方向的分量由磁量子数${\displaystyle M}$确定，即

${\displaystyle E_{{\text{magnetic}},L}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =\left({\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} )_{\text{av}}\hbar \right)\cdot \mathbf {B} =(\mathbf {L} )_{\text{av}}\cdot \mathbf {B} \mu _{B}={\frac {M(\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}\mu _{B}B}$

式中${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$是磁矩，而${\displaystyle \mu _{B}}$为玻尔磁子。类似地，朗德写出了角动量${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$带来的能量贡献，但他发现为了与实验结果相一致，需要加上额外的因子2。当时朗德并不清楚为什么^[6]，现在我们知道这就是电子的自旋${\displaystyle g}$因子。即：

${\displaystyle E_{{\text{magnetic}},S}={\frac {M(\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}2\mu _{B}B}$

将上面结果加起来，朗德得到下列的表达式，并引入符号${\displaystyle g}$^[6]，这就是朗德${\displaystyle g}$因子的最早来源：

${\displaystyle E_{\text{magnetic}}={\frac {M[(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} ]}{J^{2}}}\mu _{B}B=gM\mu _{B}B}$

利用关系式${\displaystyle \mathbf {L} }$+${\displaystyle 2\mathbf {S} }$=${\displaystyle \mathbf {J} }$+${\displaystyle \mathbf {S} }$，朗德得到：

${\displaystyle g={\frac {(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {J^{2}-L^{2}+S^{2}}{2J^{2}}}}$

但是，朗德发现，为了与实验结果相符，这一表达式需要修改为下式，当时朗德并不清楚原因^[6]。现在来看，只要将上面的角动量矢量都作为算符来处理，然后将对应的角动量平方算符用其本征值取代，得出这个结果是很自然的。

${\displaystyle g=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}}$

推广

从上面的导引可见，定义朗德${\displaystyle g}$因子的式子是

${\displaystyle E_{\text{magnetic}}=gM\mu _{B}B}$

上式可以等价地表述为^{[注 1]}：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{J}=g{\frac {e}{2m}}\mathbf {J} }$

很自然的推广是将两边的${\displaystyle J}$同时换成${\displaystyle L,S}$等，并对不同的粒子将${\displaystyle m}$换成对应粒子的质量。这就是现在广泛使用的朗德${\displaystyle g}$因子。

粒子物理学

粒子物理学中的${\displaystyle g}$因子是自旋${\displaystyle g}$因子，根据自旋角动量和自旋磁矩按照上面的形式定义。

电子

上面的导引已经给出了电子自旋${\displaystyle g}$因子的定义。在实际使用中，它的符号有两种取法，用不同的符号表记：

${\displaystyle g_{\rm {e}}\approx -2.002319,g_{S}=|g_{\rm {e}}|=-g_{\rm {e}}}$

历史沿革

历史上，它的理论值有过变动：

• 在非相对论量子力学理论下考虑自旋-轨道作用时，等效地说，${\displaystyle g_{s}}$为1。
  • 若再额外考虑狭义相对论时间展长效应下的汤玛斯进动修正（1927年），${\displaystyle g_{s}}$变为2，方合乎当代实验观测值。
• 在相对论量子力学，也就是指保罗·狄拉克所提出的理论（1928年），${\displaystyle g_{s}}$恰恰为2；并不如前者采外加修正的方法，是具有一致性的理论可导出的自然结果。
• 在量子电动力学（QED）中，因为电子与真空能量的电磁涨落相互作用，可表为单环费因曼图，提出QED的朱利安·施温格等人（1947年）所得的${\displaystyle g_{s}}$理论值为${\displaystyle \left(2+{\frac {\alpha }{2\pi }}+O(\alpha ^{2})\right)\approx 2.002\ 319\ 304\ 402}$^[7]；α目前被视为是自然常数之一，其值约为${\displaystyle {\frac {1}{137.035\ 999\ 11(46)}}}$。

威利斯·兰姆等人实验观测到的兰姆位移效应，所得${\displaystyle g_{s}}$观测值为${\displaystyle 2.002\ 319\ 304\ 376\ 8(86)}$，与理论相符精准度达小数点下第9位，展现出量子电动力学等现代物理理论所能达到的惊人精准预测程度。

其它粒子

一些粒子的朗德${\displaystyle g}$因子列表如下：

NIST 提供的朗德${\displaystyle g}$因子的值^[8]

粒子	朗德${\displaystyle g}$因子	Δg
电子	-2.002 319 304 361 53	0.000 000 000 000 53
中子	-3.826 085 45	0.000 000 90
质子	5.585 694 713	0.000 000 046
μ子	-2.002 331 8418	0.000 000 0013

注释

1. 这里的${\displaystyle \mathbf {J} }$相当于导引里的${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$

参考文献

1. A. Landé. Über den anomalen Zeemaneffekt (Teil I). Zeitschrift für Physik. 1921-07-01, 5 (4): 231–241 [2018-04-02]. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/bf01335014. （原始内容存档于2020-06-24） （德语）.
2. A. Landé. Über den anomalen Zeemaneflekt (II. Teil). Zeitschrift für Physik. 1921-12-01, 7 (1): 398–405 [2018-04-02]. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/bf01332807. （原始内容存档于2020-06-24） （德语）.
3. A. Landé. Zur Theorie der anomalen Zeeman- und magneto-mechanischen Effekte. Zeitschrift für Physik. 1922-12-01, 11 (1): 353–363 [2018-04-02]. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/bf01328427. （原始内容存档于2020-06-24） （德语）.
4. A. Landé. Termstruktur und Zeemaneffekt der Multipletts. Zeitschrift für Physik. 1923-12-01, 15 (1-2): 189–205 [2018-04-02]. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/bf01330473. （原始内容存档于2019-05-02） （德语）.
5. Quantum Chemistry: Fifth Edition, Ira N. Levine, 2000
6. John C. Slater（英语：John C. Slater）. 10. Quantum Theory of Atomic Structure. 1960. ISBN 9780070580404.
7. V. W. Hughes and T. Kinoshita "Anomalous g values of the electron and muon" Review of Modern Physics 71, 133（1999）
8. CODATA Values of the Fundamental Constants. [2014-09-10]. （原始内容存档于2020-06-24）.

参见

• 玻尔磁子
• 汤玛斯进动
• 量子电动力学
• 电子自旋共振