造父变星型振子

造父变星型振子，1955年天文学家W.S。Krogdahl在天体物理学学报上发表《天体的搏动是一种极限环现象》^[1]。

Krogdahl用下列非线性常微分方程组模拟造父变星的半径随时间的变化^[2]：

${\displaystyle y'=b*(1-x(t)^{2})*y+a*(1-1.5*a)*y(t)^{2}-x(t)+2*a*x(t)-(7/6)*a^{2}*x(t)^{3}}$

${\displaystyle x'=y(t)}$

造父变星的半径变化用下式表达：

${\displaystyle r(t)=r_{0}*(c+x(t))^{1/3}}$

此微分方程组无解析解，但可以用龙格－库塔法定性求得数值图解。

设参数params := a = .1*(1/3), b = .5，c=10；

初始条件：init:= x(0) = 1.1, y(0) = 0

造父变星半径随时间之变化图

造父变星极限环

造父变星型振子相图

参考文献

1. W.S.Krogdahl Stellar Pulsation as a limit cycle phenomena. Astrophysical Journal, 122:43,1955
2. Richard H.Enns & George C. McGuire Nonlinear Physics with Maple for Scientists and Engineers, p189