过剩数

在数论中，过剩数又称作丰数或盈数，一般指的是真约数之和大于自身的一类正整数，严格意义上指的是因数和函数大于两倍自身的一类正整数。

一般而言，过剩数是指使得函数 $s(n)>n$ 的正整数 $n$ ，其中 $s(n)$ 指的是 $n$ 的真约数之和； $s(n)-n$ 称作 $n$ 的盈度或丰度。

例如，12除本身外的所有正约数为1、 2、 3、 4和6，由于 ${{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16$ ，且 $16>12$ ，因此12为过剩数，且12的丰度为 ${{16}-{12}}=4$ 。

更为严格地说，过剩数是指使得函数 $\sigma _{1}(n)>2n$ 的正整数 $n$ ，其中 $\sigma _{1}(n)$ 指的是 $n$ 的所有正因数（包括 $n$ ）之和； $\sigma _{1}(n)-2n$ 称作 $n$ 的盈度或丰度。

在这种定义下，12的正约数有1、 2、 3、 4、 6和12，由于 ${{{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}+{12}}=28$ ，且 $28>12\times 2$ ，因此12为过剩数，且12的丰度为 ${{28}-{{12}\times {2}}}=4$ 。

12、 18、 20、 24、 30、 36、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 72、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 100、 102 ……

945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 ……

不能被2和3整除的最小过剩数是 5391411025，其素因数有 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23 和 29（OEIS数列A047802）。
亚努奇（Iannucci）在2005年给出了一个寻找不能被前 $k$ 个素数整除的最小过剩数的算法^[1]：若 $A(k)$ 表示不能被前 $k$ 个素数整除的最小过剩数，则当 $k$ 足够大时，对所有的 $\epsilon >0$ ，有

(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }

除了完全数本身，完全数的倍数都是过剩数^[3]。例如，每个大于6之6的倍数都是过剩数，因为 $1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1$ 。
过剩数的倍数都是过剩数^[3]。例如，20是过剩数，20及其倍数也都是过剩数，因为 ${\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}$ 。
由于完全数的倍数都是过剩数，过剩数的倍数也都是过剩数^[3]，因此奇数和偶数的过剩数都有无限多个。

过剩数的集合具有非零的自然密度^[4]，1998年 Marc Deléglise 证明了过剩数在自然数中的自然密度介于 0.2474 与 0.2480 之间^[5]。
若一个过剩数不是完全数或其他过剩数的倍数，则这个数称为本原过剩数^[6]^[7]。
若一个过剩数的丰度超过所有小于该数的过剩数的丰度，则这个过剩数称为高过剩数。
若一个过剩数的相对丰度 ${\frac {s\left(n\right)}{n}}$ 超过所有小于该数的过剩数的丰度，则这个过剩数称为超过剩数。
每个大于 20161 的整数都可以写成两个过剩数之和^[8]。
不是半完全数的过剩数称为奇异数^[9]^[2]^:144。
丰度为1的过剩数称为准完全数，然而目前尚未找到准完全数^[10]。

与过剩数相关的概念是完全数（真约数和等于本身，即 $s(n)=n$ 或 $\sigma _{1}(n)=2n$ ）和亏数（真约数和小于本身，即 $s(n)<n$ 或 $\sigma _{1}(n)<2n$ ）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是 Nicomachus 于公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。
$n$ 的丰度指数（过过剩指数）是指约数和与自身的比，即 ${\frac {\sigma _{1}\left(n\right)}{n}}$ ^[11]；若一组相异的数 $n_{1},n_{2},...$ （无论是否为过剩数）拥有相同的丰度指数，则这些数互为友谊数。
记 $k$ 变化时，满足 $\sigma _{1}\left(n\right)>kn$ 的最小自然数 $n$ 构成数列 $a_{k}$ （OEIS数列A134716），则 $a_{2}=12$ ，为第一个过剩数^[12]。 $a_{k}$ 是一个增长速度很快的数列。
丰度指数超过3的最小奇数为 $1018976683725=$ $3^{3}\times 5^{2}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29$ ^[13]。