霍曼转移轨道

在太空动力学，霍曼转移轨道（或译为郝曼转移轨道，Hohmann transfer orbit）是一种被用于变换太空船轨道的轨道操纵（英语：Orbital maneuver），途中只需两次引擎推进，相对地节省燃料。例如，霍曼转移可用于将卫星的轨道从近地轨道提升到地球静止轨道。在理想情况下，初始轨道和目标轨道都是圆形的且共平面的。该机动是透过将飞行器置于与初始轨道和目标轨道均相切的椭圆转移轨道来完成的。此机动使用两次冲量引擎燃烧：第一次建立转移轨道，第二次调整轨道以匹配目标。

霍曼转移轨道为图中编号2的半椭圆轨道

2018年5月5日-11月26日期间的洞察号火星探测器轨迹图
  洞察号 ·   地球 ·   火星

霍曼操纵通常会使用尽可能低的冲力（这会消耗一定比例的ΔV，因此也会消耗一定比例的推进剂）来完成转移，但相较于较高冲力的转移，需要较长的航行时间。在某些情况下，当一个轨道比另一个轨道大很多时，双椭圆转移可以使用更少的冲力，但却需要更长的航行时间。

此种轨道操纵（英语：Orbital maneuver）名称来自德国物理学家瓦尔特·霍曼 (Walter Hohmann) 的名字命名，他于1925年出版的著作《天体的可及性》(Die Erreichbarkeit der Himmelskörper) 中对此进行了描述。^[1]霍曼在某种程度上受到德国科幻小说作家库尔德·拉斯维茨 (Kurd Lasswitz) 及其1897年著作《在两个行星上（英语：Two Planets）》的影响。

简介

右图为将太空船从低轨道（1）送往较高轨道（3）的霍曼转移轨道。太空船在原先轨道（1）上瞬间加速后，进入一个椭圆形的转移轨道（2）。太空船由此椭圆轨道的近拱点开始，抵达远拱点后再瞬间加速，进入另一个圆轨道（3），此即为目标轨道。要注意的是，三个轨道的轨道半长轴是越来越大，因此两次引擎推进皆是加速，总能量增加而进入较高（半长轴较大）的轨道。

反过来，霍曼转移轨道亦可将太空船送往较低的轨道，不过是两次减速而非加速。

霍曼转移轨道的两次加速假设是瞬间完成，但实际上加速要花时间，因此需要额外的燃料来补偿。使用高推力引擎所需额外燃料较小，低推力引擎则还要以控制推进时间、逐渐提高轨道来逼近霍曼转移轨道。因此实际上ΔV会比假设情况更大且花更多时间。

计算

轨道上物体的总能等于动能与重力位能的和，而总能又等于重力位能（轨道半径为轨道半长轴 ${\displaystyle a}$ 时的重力位能）的一半：

${\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}}$

以速度为未知解方程式，得到轨道能量守衡方程式：

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$

其中

• ${\displaystyle v\,\!}$为物体的速度
• ${\displaystyle \mu =GM\,\!}$为中央物体的标准重力参数
• ${\displaystyle r\,\!}$为物体至中央物体中心的距离
• ${\displaystyle a\,\!}$为物体轨道的半长轴

因此霍曼转移所需的两次ΔV为（假设速度改变是瞬间达成）：

${\displaystyle \Delta v={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right)}$

${\displaystyle \Delta v^{\prime }={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\,\!\right)}$

${\displaystyle r_{1}}$ 和 ${\displaystyle r_{2}}$ 分别是原本圆轨道与目标圆轨道的半径，其中大的（小的）对应到霍曼转移轨道的远拱点（近拱点）距离。

无论前往较高或较低轨道，根据开普勒第三定律，霍曼转移所花的时间为：

${\displaystyle t_{H}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{H}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}}$

（即椭圆轨道周期的一半），其中${\displaystyle a_{H}\,\!}$是霍曼转移轨道的半长轴。

举例

应用于行星际旅行

当太空船从一个行星的轨道移动到另一个行星的轨道时，奥伯特效应允许使用较少的ΔV，而不是先离开第一个行星，再以霍曼转移到第二个行星，然后再插入另一个行星轨道的不同动作的ΔV之和。

例如，考虑一艘从地球前往火星的太空船。在旅程开始时，太空船已经有一定的速度和动能与其绕地球的轨道相关联。在燃烧的过程中，火箭引擎会运用它的 delta-v，但是动能会以平方定律增加，直到它足以摆脱地球的引力势能，然后再燃烧更多，以便获得足够的能量进入霍曼转移轨道（绕太阳转移）。由于火箭引擎能够利用推进剂的初始动能，因此所需的 delta-v 远远小于达到逃逸速度所需的 delta-v，最佳的情况是在行星上方的最低高度（低拱点）进行转移燃烧。所需的 delta-V 仅为 3.6 公里/秒，仅比逃离地球所需的速度多出约 0.4 公里/秒，尽管这会导致太空船在驶向火星时比地球快 2.9 公里/秒（见下表）。

在另一端，太空船必须减速让火星引力捕捉它。这个捕捉燃烧最好是在低空进行，以充分利用奥伯斯效应。因此，与自由空间的情况相比，在旅程的两端都需要相对较小的推力来安排转移。

然而，对于任何霍曼转移，两颗行星在其轨道上的对齐是至关重要的 - 目的地行星和太空船必须同时到达各自绕太阳轨道上的同一点。这种对齐的要求产生了发射窗口的概念。

月球转移轨道 (lunar transfer orbit, LTO) 一词用于月球。

可以应用上面给出的公式来计算从地球进入霍曼转移轨道抵达不同目的地所需的Δv，单位为公里/秒 (km/s)（假设行星的轨道都是圆的）。在这个表格中，标有“从地球轨道进入霍曼轨道的ΔV”的栏位给出了从地球速度到进入霍曼椭圆所需速度的变化，而霍曼椭圆的另一端将位于距离太阳所需的距离。标有"低地轨道高度"的栏位提供了距离地球表面300km时所需的速度（在以地球为中心的非旋转参考框架中）。这是将从这个高度的逃逸速度（10.9 km/s）的平方加到比动能中得到的。标有"低地轨道" (LEO) 一栏仅为前一速度减LEO轨道速度 7.73 km/s。

目的地	轨道 半径 (AU)	从地球轨道进入霍曼轨道的ΔV(km/s)
		地球轨道	低地轨道高度	低地轨道
太阳	0	29.8	31.7	24.0
水星	0.39	7.5	13.3	5.5
金星	0.72	2.5	11.2	3.5
火星	1.52	2.9	11.3	3.6
木星	5.2	8.8	14.0	6.3
土星	9.54	10.3	15.0	7.3
天王星	19.19	11.3	15.7	8.0
海王星	30.07	11.7	16.0	8.2
冥王星	39.48	11.8	16.1	8.4
无穷	∞	12.3	16.5	8.8

请注意，在大多数情况下，从近地轨道 (LEO) 进入霍曼轨道的Δv“小于从地球轨道进入霍曼轨道的Δv”。

要到达太阳，其实不需要使用 24 km/s 的 Δv。我们可以用 8.8 公里/秒的速度离开太阳很远，然后用可忽略的 Δv 使角动量为零，再掉向太阳。这可以视为一连串的两次霍曼转移，一次向上，一次向下。此外，表格并没有提供使用月球做为重力助推的数值。也有可能使用一个行星，像是最容易到达的金星，来协助到达其他行星或太阳。

参见

• 航天主题

• 双椭圆转移
• 地球同步转移轨道
• 利萨如轨道（Lissajous orbit）
• 晕轮轨道
• 航天动力学

参考文献

1. Walter Hohmann, The Attainability of Heavenly Bodies (Washington: NASA Technical Translation F-44, 1960) Internet Archive.

• Walter Hohmann. Die Erreichbarkeit der Himmelskörper. Verlag Oldenbourg in München. 1925. ISBN 3-486-23106-5.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. 2003. ISBN 0-534-40896-6.
• Bate, R.R., Mueller, D.D., White, J.E.,. Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, New York. 1971. ISBN 978-0486600611.
• Vallado, D. A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 2nd Edition. Springer. 2001. ISBN 978-0792369035.
• Battin, R.H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. American Institute of Aeronautics & Ast, Washington, DC. 1999. ISBN 978-1563473425.

外部链接

• ORBITAL MECHANICS Rocket and Space Technology