贝蒂数

在代数拓扑学中，拓扑空间之贝蒂数（英语：Betti number）${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots }$ 是一族重要的不变量，取值为非负整数或无穷大。直观地看，${\displaystyle b_{0}}$ 是连通分支之个数，${\displaystyle b_{1}}$ 是沿着闭曲线剪开空间而保持连通的最大剪裁次数。更高次的 ${\displaystyle b_{k}}$ 可藉同调群定义。

“贝蒂数”一词首先由庞加莱使用，以意大利数学家恩里科·贝蒂命名。

定义

空间 ${\displaystyle X}$ 的第 ${\displaystyle k}$ 个贝蒂数（${\displaystyle k}$ 为非负整数）定义为

${\displaystyle b_{k}=\dim H_{k}(X;\mathbb {Q} )}$

上式的同调群可以任意域为系数。

例子

• 圆环 ${\displaystyle S^{1}}$ 的贝蒂数依次为 ${\displaystyle 1,1,0,0,0,\ldots }$。
• 二维环面的贝蒂数依次为 ${\displaystyle 1,2,1,0,0,0,\ldots }$。
• 三维环面的贝蒂数依次为 ${\displaystyle 1,3,3,1,0,0,0,\ldots }$。
• 一般而言，${\displaystyle n}$ 维环面的贝蒂数由二项式系数给出，此命题可透过下节叙述的性质证明。
• 无穷维空间可以有无穷多个非零的贝蒂数，例如无穷维复射影空间 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }}$ 的贝蒂数依次为 ${\displaystyle 1,0,1,0,1,\ldots }$（周期为二）。

性质

闭曲面的第一个贝蒂数描述了曲面上的“洞”数。环面之 ${\displaystyle b_{1}=2}$；一般而言，闭曲面的 ${\displaystyle b_{1}}$ 等于“洞”或“把手”个数之两倍。可定向紧闭曲面可由其 ${\displaystyle b_{1}}$ 完全分类。

有限单纯复形或CW复形的贝蒂数有限。当 ${\displaystyle k}$ 大于复形维度时，${\displaystyle b_{k}=0}$。

对于有限 CW 复形，定义其庞加莱多项式为贝蒂数的生成函数

${\displaystyle P_{X}(z):=\sum _{k}b_{k}z^{k}}$

对于任意 ${\displaystyle X,Y}$，有

${\displaystyle P_{X\times Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z).}$

对于 ${\displaystyle n}$-维可定向闭流形 ${\displaystyle X}$，庞加莱对偶定理给出贝蒂数的对称性

${\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)}$

贝蒂数与微分形式

在微分几何及微分拓扑中，所论的空间 ${\displaystyle X}$ 通常是闭流形，此时拓扑不变量 ${\displaystyle b_{k}}$ 可以由源自流形微分结构的微分形式计算。具体言之，考虑复形

${\displaystyle 0\to A^{0}(X){\stackrel {d}{\to }}A^{1}(X){\stackrel {d}{\to }}A^{2}(X)\to \cdots }$

其中 ${\displaystyle A^{k}(X)}$ 表 ${\displaystyle k}$ 次微分形式构成的向量空间，${\displaystyle d}$ 为外微分。则

${\displaystyle b_{k}=\dim {\dfrac {\mathrm {Ker} (d:A^{k}\to A^{k+1})}{\mathrm {Im} (d:A^{k-1}\to A^{k})}}}$

这是德拉姆上同调理论的简单推论。

德拉姆上同调的不便之处，在于它考虑的是微分形式的等价类，其间可差一个 ${\displaystyle \mathrm {Im} (d:A^{k-1}\to A^{k})}$ 之元素。设流形 ${\displaystyle X}$ 具有黎曼度量，则可以定义微分形式的“长度”。我们若尝试以变分法在等价类中找最短元素，透过形式计算可知存在唯一最短元素 ${\displaystyle \omega \in A^{k}(X)}$，且为调和形式 ：${\displaystyle \Delta \omega =0}$，在此拉普拉斯算子 ${\displaystyle \Delta }$ 依赖于流形的度量，在局部座标系下可表为椭圆偏微分算子。这套想法催生的霍奇理论在复几何中扮演关键角色。

文献

• F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).
• J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).