贝尔太空船佯谬

贝尔太空船佯谬（英语：Bell's spaceship paradox）为狭义相对论中的一项思考实验。最初是由德湾（E. Dewan）与贝然（M. Beran）于1959年设计^[1]，但后来因为约翰·贝尔（John Stewart Bell）在其个人论文集中提及相关的改版而广为人知，而被称作“贝尔太空船佯谬”。^[2]首先有一条细柔易断的绳子被系在两艘太空船间。在惯性系S观察下，两艘太空船同时以相同的加速度开始进行加速；因此以S的观察，两艘太空船在所有时间都有相同的速度。是故两者皆发生了相同的洛伦兹收缩，所以包括绳子在内的整体组合似乎都发生相等程度的收缩，乍看之下，绳子不会因为加速度而发生断裂。

上图：在S系中，太空船间的距离保持不变，而绳子收缩；下图：在S′系中，太空船间的距离增加，而绳子长度保持不变。

这样的论点，透过德湾、贝然两者以及贝尔的阐述，证明是错的。^[1][2]太空船间的距离并不进行洛伦兹收缩，其在S系中保持不变，因为两艘太空船是同时进行相同的加速。而在与太空船为相对瞬间静止的共动惯性系S′中，两艘太空船间的距离是比一开始还要长，因为在此参考系中，两艘太空船的加速并非同时，肇因是相对同时这因素。至于绳子，其为一个由静电力维持其组成的物理实体，则保持固定的静止长度。因此在S中，它必然会进行洛伦兹收缩，此可透过运动物体的电磁场计算来得到。总结来说，在S及S′两个参考系中，绳子都会断裂：在S′系中，因为太空船不是同时加速而彼此间距离会增加，而造成绳子断裂；在S系中，绳子因为本身的长度收缩而断裂。

接下来，一物体的静止长度（英语：rest length）^[3]或“固有长度”（proper length）^[4]为在其静止参考系所测量的长度。（在此特例中，此长度对应到两事件之间的固有距离（英语：proper distance），而此二事件的测量是在物体静止系中同时对两端点所做。^[4]）

德湾与贝然版本

德湾与贝然的思想实验为如下陈述：

“考虑两根相同构造的火箭，一开始于惯性系S中静止。让这两根火箭朝向同一方向，一根在另一根的后方。假设在一预先设定的时间点，两根火箭同时点火（相对于S系），则两根火箭相对于S系的速度会在整个实验中一直保持相同（即使速度是时间的函数。）从定义上来说，这表示相对于S系，两根火箭之间的距离不会产生改变，即使两者速率攀升至相对论性速度。”^[1]

接下来重复一样的实验设计，但这次前方火箭的尾端与后方火箭的前端中间系上了一条拉紧的丝线。两位学者阐述了：

“根据狭义相对论，相对于S系，丝线必须要收缩，因为其对S系有相对速度。然而在S系中，两根火箭间的距离保持固定，绑紧的丝线则无法收缩。因此在丝线上会出现应力，在速度高到一定程度时，超过了丝线的弹性极限而丝线断裂。”^[1]

德湾与贝然亦讨论了与前方火箭瞬时共移的惯性系观点，采用到洛伦兹转换：

“由于公式${\displaystyle \scriptstyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$，(..)在此采用的参考系有着不同的校时方案，原因是${\displaystyle vx/c^{2}}$项。我们可以推导出：当${\displaystyle v}$增加，在瞬时惯性系观察下，不只前方火箭与后方火箭间的距离会增加，前方火箭也较后方火箭更早发动引擎。”^[1]

他们因此做出结论：

“总结来说：一物体的所有部位都以相对于一惯性系之相同加速度进行加速（或者说相对于一个坐标固定也不旋转的惯性系），这样的物体会普遍感受到相对论性应力。”^[1]

接着他们针对反对意见做出讨论。反对者指出以下二情形不应有差异：a)连结杆两端的距离，b) 两个未连结的物体，而其相对于一惯性系呈相同速度运动。德湾与贝然对此反对意见的辩解为：

• 既然火箭是以完全相同方式建造，且在S系中是于同一时刻开始相同的加速，则它们在S系中必然一直保持相同速度。因此在S系中，它们必然行经相同距离，而彼此间的距离在S系中会保持不变。假若S系中彼此间的距离发生收缩，则表示火箭在此参考系中有不同速度，这样则与相同构造的火箭以及相同时间、相同加速的前提相违背。
• 他们也提出了，其实a)与b)两种情形真的不同：案例a)是寻常的长度收缩例子，S₀系中杆子的静止长度为l₀；若杆子是刚体，则静止长度永远保持不变。在这条件下，杆子会在S系中收缩。然而在案例b)中的距离不能被视作刚体，以其在S₀中，此距离会因不相等的加速而逐渐增加。若要保持此距离不变，则两火箭需要交换航行信息并对速度做出调校才能达成，这些复杂情况并不会在案例a)中发生。

贝尔版本

长度收缩的重要性

参考文献

1. Dewan, Edmond M.; Beran, Michael J. Note on stress effects due to relativistic contraction. American Journal of Physics (American Association of Physics Teachers). March 20, 1959, 27 (7): 517–518. Bibcode:1959AmJPh..27..517D. doi:10.1119/1.1996214.
2. Bell, John Stewart. Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. 1987. ISBN 0-521-52338-9. in chapter 9 of his popular 1976 book on quantum mechanics.
3. Franklin, Jerrold. Lorentz contraction, Bell's spaceships, and rigid body motion in special relativity. European Journal of Physics. 2010, 31 (2): 291–298. Bibcode:2010EJPh...31..291F. arXiv:0906.1919 . doi:10.1088/0143-0807/31/2/006.
4. Moses Fayngold. Special Relativity and How it Works. John Wiley & Sons. 2009. ISBN 3527406077.: p. 407: "Note that the proper distance between two events is generally not the same as the proper length of an object whose end points happen to be respectively coincident with these events. Consider a solid rod of constant proper length l(0). If you are in the rest frame K0 of the rod, and you want to measure its length, you can do it by first marking its end-points. And it is not necessary that you mark them simultaneously in K0. You can mark one end now (at a moment t1) and the other end later (at a moment t2) in K0, and then quietly measure the distance between the marks. We can even consider such measurement as a possible operational definition of proper length. From the viewpoint of the experimental physics, the requirement that the marks be made simultaneously is redundant for a stationary object with constant shape and size, and can in this case be dropped from such definition. Since the rod is stationary in K0, the distance between the marks is the proper length of the rod regardless of the time lapse between the two markings. On the other hand, it is not the proper distance between the marking events if the marks are not made simultaneously in K0."