贝尔性质

若一个拓朴空间${\displaystyle X}$的子集合${\displaystyle A}$有贝尔性质，或是一个几乎开集，就表示这集合与开集之间的差为一个贫乏集（英语：meager set）；换句话说，若存在一个开集合${\displaystyle U\subseteq X}$使得${\displaystyle A\bigtriangleup U}$为贫乏集（此处的${\displaystyle \bigtriangleup }$为对称差），那么就说${\displaystyle A}$有贝尔性质。^[1]

定义

若一个拓朴空间${\displaystyle X}$的子集合${\displaystyle A}$是一个有贝尔性质的几乎开集，那就表示存在一个${\displaystyle U\subseteq X}$使得${\displaystyle A\bigtriangleup U}$为贫乏集，此处的${\displaystyle \bigtriangleup }$为对称差；此外^[1]若${\displaystyle A}$有限制意义下的贝尔性质的话，就表示说对于任意${\displaystyle X}$的子集合${\displaystyle E}$而言，${\displaystyle A}$跟${\displaystyle E}$的交集${\displaystyle A\cap E}$相对于${\displaystyle E}$有贝尔性质。^[2]

性质

有贝尔性质的集合构成集族为一个σ-代数，也就是说，几乎开集的补集也是几乎开集，且任何可数多个几乎开集的联集或交集也是几乎开集；^[1]此外，由于空集合本身是贫乏集，因此所有的开集都是几乎开集之故，因此所有的博雷尔集都是几乎开集。

若一个波兰空间的子集合有贝尔性质，那么与其对应的巴拿赫－马祖尔游戏（英语：Banach–Mazur game）是决定的（英语：Determinacy）。此命题的逆命题一般不成立，然而若一个适当点类（英语：adequate pointclass）${\displaystyle \Gamma }$中的所有游戏都是决定的，那${\displaystyle \Gamma }$中的每个集合都有贝尔性质，也就是说根据由足够大的基数推导而出的射影决定性（英语：Axiom of projective determinacy），波兰空间中所有的射影集（英语：projective set）都有贝尔性质。^[3]

利用选择公理，可知一些实数的子集不具贝尔性质，一个没有贝尔性质的实数子集的具体的例子是维塔利集合。^[4]实际上选择公理就已足以证明这点：根据布尔素理想定理，自然数集合上存在有一个非主理想超滤子，而每一个有如此性质的超滤子，都可在以二进制表示实数的状况下，用以导出一个没有贝尔性质的实数集。^[5]

参见

• 几乎开映射（英语：Almost open map）
• 贝尔纲定理
• 开集

参考资料

1. Oxtoby, John C., 4. The Property of Baire, Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics 2 2nd, Springer-Verlag: 19–21, 1980, ISBN 978-0-387-90508-2.
2. Kuratowski, Kazimierz, Topology. Vol. 1, Academic Press and Polish Scientific Publishers, 1966.
3. Becker, Howard; Kechris, Alexander S., The descriptive set theory of Polish group actions, London Mathematical Society Lecture Note Series 232, Cambridge University Press, Cambridge: 69, 1996, ISBN 0-521-57605-9, MR 1425877, doi:10.1017/CBO9780511735264.
4. Oxtoby (1980), p. 22.
5. Blass, Andreas, Ultrafilters and set theory, Ultrafilters across mathematics, Contemporary Mathematics 530, Providence, RI: American Mathematical Society: 49–71, 2010, MR 2757533, doi:10.1090/conm/530/10440，可见第64页的说明。

外部链接

• Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property （页面存档备份，存于互联网档案馆）