调和共轭

在数学中，调和共轭（Harmonic conjugate）是针对函数的概念。定义在开集${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$中的函数${\displaystyle u(x,\,y)}$，另一个函数${\displaystyle v(x,\,y)}$为其共轭函数的充分必要条件是${\displaystyle u(x,\,y)}$和${\displaystyle v(x,\,y)}$需要是全纯函数${\displaystyle f(z)}$（${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega }$）的实部及虚部。

因此，若${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$在${\displaystyle \Omega }$中为全纯函数，${\displaystyle v}$就为${\displaystyle u}$的共轭函数。而${\displaystyle v}$和${\displaystyle u}$也是${\displaystyle \Omega }$中的调和函数。${\displaystyle v}$为${\displaystyle u}$的共轭函数，当且仅当${\displaystyle u}$为${\displaystyle -v}$的共轭函数。

在${\displaystyle \Omega }$区间内，${\displaystyle v}$是${\displaystyle u}$共轭函数的充分必要条件是${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$满足柯西－黎曼方程。

     ${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}$

    ${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}$

举例

例如，考虑函数$${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$$

因为 $${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$$ 且 $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$$ 会满足 $${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$$ （${\displaystyle \Delta }$是拉普拉斯算子），因此是调和函数。现在假设存在${\displaystyle v(x,y)}$，可以满足柯西－黎曼方程：

$${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ and $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$$

化简后可得 $${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ 且 $${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$$ 因此可得 $${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$$

若u和v的关系对调，函数就不是调和共轭函数了，因为柯西－黎曼方程中的负号，让此关系是非对称的关系。

参考资料

• Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. Complex variables and applications 6th. New York: McGraw-Hill. 1996: 61. ISBN 0-07-912147-0. If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u.

外部链接

• Harmonic Ratio （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hazewinkel, Michiel (编), Conjugate harmonic functions, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4