复小波变换

复小波变换是针对标准离散傅立叶转换在复数上的延伸形式。事实上，复小波变换是一个二维的小波转换，并且可以提供多尺度、有用的影像结构特性的分析。此外，他也具备了振幅不会随着平移而改变的特性。然而，这种转换具备了一个缺点，就是相对于原本的离散傅立叶转换，会有多余的 ${\displaystyle 2^{d}}$(这里的${\displaystyle d}$是指原始被传递讯号的维度)维度存在。

一般而言，复小波变换最早被使用是在1995年，由J.M.Lina和L. Gagnon，基于Daubechies正交滤波器的架构，用以进行影像处理^[1][2]。并于1997年被剑桥大学的Nick Kingsbury教授归纳出一个较为一般性的形式。 ^[3][4][5]

在电脑视觉的领域中，人们可以借由利用同时考虑区域影像的概念，快速的将目标集中存在人们有兴趣的物件之区域上。然后，再使用复小波变换去计算隐含在图像中额外的特性，这些特性对于整张图像中或许是不必要的，但是对于精确的侦测及辨认小物件是有用的。同理，复小波变换亦可被应用在三维空间中，加上独立成分分析，可以借由贝斯资讯标准[1]^{[永久失效链接]}萃取出其中独立的成分。

优点

• 具有高的可修改性，可以用来创建复杂的双密度离散小波转换:一个定向、移位不敏感的M维空间中有低冗余(redundancy)的复数小波转换
• 解决部分离散小波的缺陷
• 有可控制的额外项，这些额外的控件可以用来平衡转换的冗余(redundancy)以及转向的敏感度

Dual-Tree 复小波变换

Dual-Tree复小波变换会利用两个不同的复小波变换的解构，合成一个新的变换。此外，如果一个复小波变化的滤波器是特别设计(与另一个不同)，则单靠一个复小波变换是有可能同时有实数和虚数的系数。

Block diagram for a 3-level DTCWT

使用Dual-Tree复小波变换可以提供额外的资讯方便分析，不过为此也要付出额外的计算资源。同时，如前所述，他也可以提供类平移不变性，所以仍然可以对讯号对完整的重建。

对于复小波变换的滤波器设计所需要具备的特性如下：

• 在两个不同分支的低频滤波器必须在取样区间的一半内是不一样的
• 重建滤波器可将分析过程反转而得
• 全部的滤波器都是从同一个正交的集合得来
• a滤波器是b滤波器的反转
• 两个分支都有相同的频率响应

参见

• 小波分析
• 连续小波变换

参考

1. Lina, Jean-Marc; Gagnon, Langis. Image enhancement with symmetric Daubechies wavelets (PDF) 2569: 196–207. 1995-01-01 [2017-01-08]. doi:10.1117/12.217575. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-03）.
2. Lina, Jean-Marc. Image Processing with Complex Daubechies Wavelets. J. Math. Imaging Vis. 1997-06-01, 7 (3): 211–223. ISSN 0924-9907. doi:10.1023/A:1008274210946.
3. N. G. Kingsbury. Image processing with complex wavelets. Phil. Trans. Royal Society London. London. September 1999 [2017-01-08]. （原始内容存档于2008-02-09）.
4. Kingsbury, N G. Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals (PDF). Journal of Applied and Computational Harmonic Analysis. May 2001, 10 (3): 234–253 [2017-01-08]. doi:10.1006/acha.2000.0343. （原始内容存档 (PDF)于2012-09-07）.
5. Selesnick, Ivan W.; Baraniuk, Richard G.; Kingsbury, Nick G. The Dual-Tree Complex Wavelet Transform (PDF). IEEE Signal Processing Magazine. November 2005, 22 (6): 123–151 [2017-01-08]. doi:10.1109/MSP.2005.1550194. （原始内容存档 (PDF)于2013-07-18）.

外部链接

• An MPhil thesis: Complex wavelet transforms and their applications
• CWT for EMG analysis（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Multidimensional, mapping-based complex wavelet transforms （页面存档备份，存于互联网档案馆）