在数学里,尤其是在群论、环与模理论、同调代数及微分几何等数学领域中,正合序列(或释作正合列或恰当序列)是指一个由对象及其间的态射所组成的序列,该序列中的每一个态射的像都恰好是其下一个态射的核。正合序列可以为有限序列或无限序列。
此条目没有列出任何参考或来源。 (2022年12月12日) |
正合序列于同调代数中居于核心地位,其中特别重要的一类是短正合序列。
定义
称之为正合序列,当且仅当该序列中的每一个同态的像均等于其下一个同态的核:
上述的正合序列可以为有限序列,亦或是无限序列。
在其他的代数结构里也可以得出类似的定义,如将群与群同态替换成向量空间与线性映射,或是模与模同态,也都可以得出类似的正合序列定义。更一般性地来说,任何一个具有核与上核的范畴里都能形成正合序列的概念。
下面会举出一些相对简单的例子来帮助理解上述定义。这些例子均以平凡群作为开头或结束,一般会将此一平凡群标记为0(表示加法运算,一般用于序列内的群为阿贝尔群时),或标记为1(表示乘法运算)。
短正合序列为具有下列形式的正合序列
如上所述,对任何一个短正合序列,f 一定为单射,且g 一定为满射,且f 的像会等于g 的核。因此,可导出一同构
若以下任一等价(依据分裂引理)条件成立,则称短正合序列 分裂:
- 有截面(即存在使得)
- 有缩回(即存在使得)
- 该短正合序列同构(在链复形的意义下)于
- 其中的箭头是直和的典范映射。
对于群的范畴,前两个条件不一定蕴含第三个,它们只能保证可以表为与的半直积;例如我们可考虑群同态
其中是3次对称群。由给出,它的像是交代群,商为;但无法分解成。
正合序列可以透过核Ker与上核Coker的构造拆解为短正合序列,构造方式如下:考虑一正合序列
设
其中,这就给出了一个短正合序列
一般而言,设为链复形,我们同样定义;此时链复形的正合性等价于所有短链的正合性。
给定一个短正合序列
有时也称为经由的扩张。
长正合序列
若有链复形的短正合序列:
反复运用蛇引理,可以导出正合序列
对上链复形的上同调亦同,此时连接同态的方向是。这类序列称作长正合序列,它是同调代数最重要的技术之一。在代数拓扑中,长正合序列与相对同调群和Mayer-Vietoris序列相关。导函子也可以导出相应的长正合序列。
参见
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