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在数学中,一个群 被称作自由群,如果存在 的子集 使得 的任何元素都能唯一地表成由 中元素及其逆元组成之乘积(在此不论平庸的表法,例如 之类);此时也称 为集合 上的自由群,其群结构决定于集合 ,记为 , 称作一组基底。按照范畴论的观点,自由群也可以抽象地理解为群范畴中的自由对象。
一个相关但略有不同的概念是自由阿贝尔群。
在1882年,Walther Dyck 在发表于 Mathematische Annalen 的论文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念,但未加以命名。“自由群”一词由 Jakob Nielsen 于1924年引入。
今将构造集合 上之自由群 ,分解动作如下。
若 为空集,则 为平凡群。
上述构造 带有一个自然的集合映射 。这对资料 满足以下泛性质:
事实上我们仅须,也必须设 ;前述构造确保此式给出一个明确定义的群同态。
任两个满足上述泛性质的资料 、 至多差一个同构,因而刻划了自由群的群论性质。这种泛性质是泛代数中考虑的自由对象的特例,用范畴论的语言来说,函子 是遗忘函子的左伴随函子。
以下是一些相关定理:
自由群虽然看似是离散的对象,却可藉微分几何或拓扑学工具研究,上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例(可运用同伦上纤维的构造证明);这套技术属于几何群论的一支。
将上述泛性质中的“群”替换成“阿贝尔群”,遂得到自由阿贝尔群的泛性质。集合 上的自由阿贝尔群可视为自由 -模来构造,或取作 的“交换化”: (换言之,在考虑字串时不计符号顺序)。
塔斯基在1945年左右提出下述问题:
目前已有两个团队独立给出肯定的答案,但双方的证明都尚未被认可。请参见网址 [1] 的“O8”。
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