(换言之, 是单射、 是满射,且 ;是故可视 为 的正规子群,。)则称群 为 的群扩张,或称 对 的扩张。
由短正合序列的同构关系,可以定义群扩张的等价类。若某个群扩张等价于
则称此扩张为平凡扩张。当 落在 的中心时,称之为中心扩张。
分类
一般的群扩张不易分类。若限定 为阿贝尔群,则 对 的扩张等价类一一对应于 (参见条目 Ext函子)。
另一方面,若在群扩张 中, 为阿贝尔群,可任取一截面 (s 不一定是群同态),群 以共轭方式 在 上作用。这类扩张的等价类由群上同调 分类,并具有自然的群结构。最常见的例子是中心扩张。
李代数的扩张
利用同样作法,也可以定义李代数的扩张。此即李代数的正合序列
若 ,称之为中心扩张。
参考资料
- V.E. Govorov, Extension of a group, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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