维度正规化

在量子场论中，维度正规化是一种正规化办法。Giambiagi、Bollini、^[1][2] 杰拉德·特·胡夫特和马丁纽斯·韦尔特曼^[3]都提出了这个办法。物理学家使用维度正规化来计算费曼图的积分。积分的值是d的亚纯函数；d是时空的维度。

其他应用

Wilson–Fisher固定点（英语：Wilson–Fisher fixed point）、分形维数^[4]

举例

${\displaystyle \int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}},}$

若d = 4 − ε，上文的积分是

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{{\frac {\varepsilon }{2}}-1}}{\sin \left({\frac {\pi \varepsilon }{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}\left(\ln {\frac {m^{2}}{4\pi }}+\gamma \right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ).}$

有人认为Ζ函数正规化和维度正规化是等效的等同因为解析延拓。^[5]