累积量

在概率论和统计学中，一个概率分布的累积量κ_n(英语：Cumulant)是指一系列能够提供和矩一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样，那么它们的累积量也都一样，反之亦然。

对于随机变量${\displaystyle X}$而言，一阶累积量等于期望${\displaystyle E(x)}$，二阶累积量等于方差${\displaystyle V(x)}$，三阶累积量等于三阶中心矩${\displaystyle S(x)}$，但是四阶以及更高阶的累积量与同阶的中心矩并不相等。在某些理论推导中，使用累积量更加方便。特别是当两个或者更多的随机变量相互独立时，它们的 ${\displaystyle n}$阶累积量的和等于它们和的${\displaystyle n}$阶累积量。另外，服从正态分布的随机变量的三阶及以上的累积量为${\displaystyle 0}$。

定义

一个随机变量${\displaystyle X}$的${\displaystyle n}$阶累积量${\displaystyle \kappa _{n}}$可以用累积生成函数来定义

${\displaystyle K(t)=\log \mathbb {E} e^{tX}=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=:g(t).}$

从上面的观察可知，累积量可以通过对生成函数${\displaystyle g(t)}$（在0处）进行求导得到。也就是说，累积量是${\displaystyle g(t)}$的麦克劳林级数的系数。

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=g'(0)=\mu '_{1}=\mu ,\\\kappa _{2}&=g''(0)=\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}=\sigma ^{2},\\&{}\ \ \vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

如果使用${\displaystyle X}$（没有中心化）的${\displaystyle n}$阶矩${\displaystyle \mu _{n}^{\prime }=\mathbb {E} (X^{n})}$和矩生成函数则可以定义：

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{tX})=1+\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}=e^{g(t)}.}$

使用形式幂级数定义的对数函数：

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(1-\operatorname {E} (e^{tX})\right)^{n}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(-\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)^{n}\\&=\mu '_{1}t+\left(\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\right){\frac {t^{2}}{2!}}+\left(\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\right){\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots .\end{aligned}}}$

随机变量的累积量和随机变量的矩密切相关。比如说，随机变量X有期望${\displaystyle \scriptstyle \mu =\mathbb {E} (X)}$和方差 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma ^{2}=\mathbb {E} \left(|X-\mu |^{2}\right)}$ ，那么它们也是前两阶的累积量： ${\displaystyle \scriptstyle \mu =\kappa _{1},\,\sigma ^{2}=\kappa _{2}}$。

要注意有时候${\displaystyle n}$阶矩会用角括号来表示：${\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} (X^{n})=\langle X^{n}\rangle \,}$，累积量则用下标${\displaystyle c}$的角括号表示：${\displaystyle \kappa _{n}=\langle X^{n}\rangle _{c}.\,}$。

如果随机变量的矩生成函数不存在，那么可以通过后面对于累积量与矩之间的关系的讨论定义累积量。

有些作者^[1][2]偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数^[3][4]。

${\displaystyle h(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\log(\operatorname {E} (e^{itX}))=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,}$

统计数学中的应用

使用累积量的一个优势是它对应的生成函数是加性函数。比如说对两个独立的随机变量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{X+Y}(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{t(X+Y)}))=\log(\operatorname {E} (e^{tX})\operatorname {E} (e^{tY}))\\&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))+\log(\operatorname {E} (e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t).\end{aligned}}}$

它们的和的累积量是各自的累积量的和。

一些具体概率分布的累积量

• 常量${\displaystyle X=\mu }$的累积生成函数是 ${\displaystyle K(t)=\mu t}$。 一阶累积量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=\mu }$,其他阶的累积量均为0， ${\displaystyle \kappa _{2}=\kappa _{3}=\kappa _{4}=...=0}$。
• 服从伯努利分布的随机变量的累积生成函数是 ${\displaystyle K(t)=log(1-p+pe^{t})}$。一阶累积量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=p}$，二阶累积量是${\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=p(1-p)}$,累积量满足递推公式

${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}$

• 服从几何分布的随机变量的累积生成函数是${\displaystyle K(t)=log({\frac {p}{1+(p-1)e^{t}}})}$。 一阶累积量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=p^{-1}-1}$，二阶累积量是${\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}p^{-1}}$。
• 服从泊松分布的随机变量的累积生成函数是${\displaystyle K(t)=\mu {e^{t}-1}}$。所有的累积量均等于参数${\displaystyle \mu }$: ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=\kappa _{3}=...=\kappa _{n}=\mu }$。
• 服从二项分布的随机变量的累积生成函数是${\displaystyle K(t)=nlog(1-p+pe^{t})}$。 一阶累积量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=np}$，二阶累积量是${\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}(1-p)}$。
• 服从负二项分布的随机变量的累积生成函数的导数是${\displaystyle K'(t)={\frac {n}{{\frac {1}{(1-p)e^{t}}}-1}}}$。一阶累积量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=n({\frac {1}{p}}-1)}$，二阶累积量是${\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}p^{-1}}$。

相关条目

• 累积量生成函数