紧群

在数学中，紧群（英语：Compact group）是其拓扑为紧致的拓扑群。紧群是带有离散拓扑的有限群的自然推广，并以显著方式延续了一些性质。紧群的理论已被人们深入研究，与群作用和群表示论有关。

下面我们假定所有群都是豪斯多夫空间，因为这个覆盖了所有有价值的情况。

紧李群

李群形成最好一类拓扑群，而紧李群有特别良好开发的理论。紧李群的基本例子包括

• 圆群 T 和环面群 Tⁿ，
• 正交群 O(n)，特殊正交群 SO(n) 和它的覆盖旋量群 Spin(n)，
• 酉群 U(n) 和特殊酉群 SU(n)，
• 辛群 Sp(n)，
• 例外李群的紧致形式: G₂, F₄, E₆, E₇ 和 E₈，
• 所有有限群(带有离散拓扑)。

紧李群的分类定理指出不别有限扩张和有限覆盖之异时这穷尽了例子列表(它已经包含了一些冗余)。

分类

给定任何紧李群 G 我们可以选取它的单位元单元 G₀，它是连通的。商群 G/G₀ 是单元的群 π₀(G)，它必定有限的因为 G 是紧致的。因此我们有了有限扩张

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1\,}$。

现在所有紧致的连通李群 G₀ 都有有限覆盖

${\displaystyle 1\to A\to {\tilde {G}}_{0}\to G_{0}\to 1\,}$

这里的 ${\displaystyle A\subset Z({\tilde {G}}_{0})}$ 是有限阿贝尔群而 ${\displaystyle {\tilde {G_{0}}}}$ 是环面和紧致的、连通的、单连通李群 K 的乘积:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{0}\cong \mathbb {T} ^{m}\times K}$。

最后，所有紧致的、连通的、单连通李群 K 是紧致的、连通的、单连通单李群 K_i 的乘积，它们每个都同构于下列中唯一一个

• Sp(n), n ≥ 1
• SU(n), n ≥ 3
• Spin(n), n ≥ 7
• G₂, F₄, E₆, E₇ 或 E₈。

进一步例子

在不承载流形结构的非李群的群之中，例子有p-进数集的加法群 Z_p 和来自它的构造。事实上任何预有限群都是紧群。这意味着伽罗瓦群是紧群，这是代数扩张理论在无限次情况下的基本事实。

庞特里亚金对偶性提供大量紧交换群的例子。它们对偶于阿贝尔离散群。

哈尔测度

紧致群都承载哈尔测度，它对于左和右平移的都是不变的(模数函数必定是到正乘法性实数的同态，因此为 1)。换句话说，这些群都是幺模群。哈尔测度易于正规化为概率测度，类似于在圆上的 dθ/2π。

这种哈尔测度在很多情况下都是容易计算的；例如胡尔维茨知道对于正交群如何计算，在李群的情况下总能通过不变微分形式的得到。在预有限情况有很多有限指标的子群，而陪集的哈尔测度将是指标的倒数。因此经常可非常直接的计算积分，这是在数论中常用到的事实。

表示理论

紧群的表示理论由彼得-外尔定理创立。赫尔曼·外尔 基于极大环面理论给出了紧连通李群的详细的特征理论。结果的外尔特征标公式是二十世纪数学的最有影响的成果之一。

对偶

从紧群到非紧群

参见

• 局部紧群

引用

• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A., The structure of compact groups, Berlin: de Gruyter, 1998, ISBN 3-11-015268-1